32.Дифференцируемость функции двух переменных в точке

Функция Z(x,y) называется дифференцируемой в точке (х0,у0), если ее полное приращение z’x*Δx+z’y*Δy представлено в виде Δx=z’x*Δx+z’y*Δy–α(ρ)Δx+β(ρ)Δy

Ρ=√Δx²+Δy²

Пусть ф. z диф-ема в М₀, тогда линейная часть приращения относительно Δx и Δy называется полным диф-лом ф. z

dz= z’x*dx+z’y*dy

Если ф.z диф-ема в М_0, то она непрерывна в этой точке lim(ρ →0)(z’xΔx+z'yΔy+ α(ρ)Δx+β(ρ)Δy)=z’xlimΔx+z’ylimΔy+limα(ρ)*lim Δx+limβ(ρ)*lim Δy=0

33.Производная сложной ф.двух переменных Т: Если фун f(U,V), U(x,y), V(x,y) имеют частные производные по своим аргументам, то справедливы следующие формулы:

∂z/∂х=(∂f/∂U)(∂U/∂х)+(∂f/∂V)(∂V/∂x)

∂z/∂y=(∂f/∂U)(∂U/∂y)+(∂f/∂V)(∂V/∂y)Доказательство:∆t ≠0 => ∆x; ∆y => ∆Z(∆Z=Z`x ∆x + Z`y ∆y + α(ρ) ∆x +β(ρ) ∆y): ∆t ∆Z/∆t = Z`x (∆x/∆t) + Z`y (∆y /∆t) + α(ρ) *(∆x/∆t) + β(ρ)* (∆y /∆t) lim ∆t→0 ∆Z/∆t = lim ∆t→0 Z`x (∆x/∆t) + lim ∆t→0 Z`y (∆y /∆t) + lim ρ→0 α(ρ)* lim ∆t→0 (∆x/∆t) + lim ρ→0 β(ρ)* lim ∆t→0(∆y /∆t) = Z`x*φ`t + Z`y * ψ`t +0+0

34.Производная неявной ф.

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y)

35.Производная по направлению

Пусть ф.z определена и непрерывна в области G.точка М₀ ∈G

Пусть прямая L проходит через М₀

М ∈ L. MM₀-отрезок по прямой L.

Β(M;M0),тогда lim_M→m0z(M)-z(M0)/MM0= Δz/ ΔL=z’L

Называется производной по направлению L и обозначается так z’L.

36. Градиент

Г-ом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M₀, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).

grad z:z’xI+z’yj

(∂z/∂L)=√(z’x)²⁺⁽z’y)² * cos(µ-α) если µ=α µ-угол,к-ый составляет вектор градиент с осоью Ох

Вывод:производная в данной точке по направлению L имеет макс.значение если направление линии L совпадает с направлением градиента,при этом макс.значение равно длине градиента.

Ιgrad zΙ=√(z’x)²⁺⁽z’y)²

37. Частные производные высших порядков

Пусть функция z=f(x,y) имеет первые частные производные ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y в точке M(x,y) и в каждой точке некоторой окрестности точки M (x,y). Тогда частные производные от частных производных ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от функции z=f(x,y) в точке M (x,y).

Частные производные высших порядков взятые по разным переменным называются смешанными частными пр-ми.

38.Теорема о независимости

Т.пусть Z(x,y)определена в нек.области G.и пусть в этой области сущ.первые частные производные и вторые смеш част.произв. Кроме того вторые смеш.пр-ые являются непрерывными в т.М0.При этих условиях имеет место след.равенство z’’xy(x0,y0)=z’’yx(x0;y0)

Общая теорема:пусть ф.z определена в не обл.G и имеет в этой обл.всевозможные частные произв.до n-ого порядка и смеш част.произв n-ого порядка. Причем все эти произ. являются непрерывными в обл.G.При этих условиях значение любой n от смешанной произв. не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Z’’’xxy=z’’’xyx=z’’’yxx