25.Точки перегибо.Необ.И дост.Условия сущ.

Если в точке M(x₀, f(x₀)) графика функции y=f(x) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка M(x₀, f(x₀)) называется точкой перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба).пусть f(x)имеет перегиб в т. М и пустьf(X) имеет F’’(x0),тогда f“(x0)≠0,тогда на основании теоремы о непрерывных ф. сущ. нек. [x₀+δ; x₀-δ],в к-рой вторая произв.имеет постоянный знак. Тогда во всей [x₀+δ; x₀-δ] граф.ф.имеет постоянную выпуклость=>противоречие.

Точки графика функции, в которых вторая производная равна 0 или не существует, называются критическими точками II рода.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x₀ и пусть в самой точке f''(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует. Тогда, если в указанной окрестности f''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки x₀, график функции имеет перегиб в точке M.док-во:по условию т.f’’(x)имеет разные знаки слева и справа => выпуклость гр.слева и справа различна,поэтому эта точка-т.перегиба(по опред)

26.Асиптоты. При следовании выведения ф. на∞ и в точках разрыва можно наблюдать приближения гр.к нек. Прямым,не касаясь их.

Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая х=х0 назыв.верт.ас. если lim_xх0f(x)=+∞ или lim_xх0f(x)= - ∞

Верт.ас. мб любое положит.целое число и ноль.

Пряма у=А – гор.ас.если

Если lim_x+∞f(x)=А или lim_x-∞f(x)=А,

Прямая y=kx+b где к≠0, является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х→ ∞,если f(x) можно представить в виде kx+b+α(x)=f(x).где α(x)-б.м.ф.

Теорема.для того,что бы ф.имела накл.ас. необходимо и достаточно чтобы сущ два предела

k=lim_x∞f(x)/x, b=lim_x∞(f(x)-kx)

27. Алгоритм исследования графиков функции y=f(x):

1. Определить область опред. функции;

2. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

3. Исследовать функцию на четность и нечетность;

4. найти асимптоты

5. вычисление первой и второй произв.

6. Опред.т. в которых 1ая и 2ая произв.=0 или не сущ

7. Построение таб.поведения ф.и её произв.

8. Установление интервалов монот.и выпуклости,нахождение т.экстр. и перегиба

9. Построить график функции.

28Ф.Двух переменных.Виды и способы задания.

Функция z называется однозначной функцией двух переменных х и у, если к каждой паре значений х и у поставлено в соответствии единственное значение z (z=f(x;y) = z=f(M), где M (x;y)). Способы задания : аналитический, графический, табличный. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл. График функции двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y).

29.Предел ф.двух переменных в точкеПусть функция Z=f(M) определена на некотором множестве {M} и точка M₀ {M} или M₀ {M}, но обладает тем свойством, что в любой δ-окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества {M}, отличная от M₀.ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число А называется пределом функции Z=f(M) в точке M₀, если функция Z=f(M) определена в окрестности точки M₀ и для любого ε>0, δ>0 такое что при |M₀M|<δ, выполняется неравенство |f(M)-A|<ε.обозначение: 

30.Непрерывность ф.двух переменных в точке. Функция Z=f(M) называется непрерывной в точке M₀, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, Limf(M)_{m→ m0}=f(M₀)

Δf=f(M)-f(M₀)=f(x;y)-f(x₀;y₀)

31.Частные производные первого порядка производной от функции z=f(x,y) по независимой переменной x называется конечный предел

lim_∆x→0 f(x+∆x, y)-f(x, y)/∆x=lim_∆x→0 ∆z_x/∆x=∂z/∂x=f’_x(x, y),

вычисленный при постоянном значении y.

Частной производной по y называется конечный предел

lim_∆y→0 f(x, y+∆y)-f(x, y)/∆y= lim_∆y→0 ∆z_y/∆y=∂z/∂y= f’_y(x, y),

вычисленный при постоянной значении x.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.