12. Теоремы о производных.

Теорема. Если существуют производные  и функций и , то существует

;

Следствие.  так как  (рис. 32), т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.

Теорема. Если функция в точке имеет производную, то она в этой точке непрерывна.

Обратное неверно.

13.Производная сложной функции. Теорема о производной сложной функции

Если y=f(u), где u=(x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке , причем .

14.Производная обратной функции.Пусть фун-ия дифференцируема и строго монотонна на (a;b). Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая фун-ия, котор. называют обратной к , а её производная вычисляется по формуле

15. Таблица производных Производной функции y=f(x) в точке x₀ (обозначается y'(x₀) или f’(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:

y’(x₀)=lim∆x-->0 f(x₀+∆x) – f(x₀)/ ∆x.

16. Произ.Высших порядков

Производной n-порядка от функции y=f(x) называется производная от ее производной n-первого порядка f(x)=>f’(x)=g(x)g’(x)=[f’(x)]’=f’’(x)Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным диф-ем данной ф.

17.Теорема Ферма

Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x₀∈(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x₀)=0.

18.Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.

19Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на инт.(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f’(c)=(f(b)-f(a)/ b-a.

Теорма является обобщение т.Ролля(ролля-общий случай)

20 Теорема Коши

Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы на(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).

(теорема Ла Гранжа-частный случай т.Коши)

21. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:

Если lim(_x→ _x0)f(x)=lim_xx0φ(x)=0, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(0/0)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f'(x)=lim_xx0φ’(x)=0, то lim_xx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=lim_xx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.

Если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.