8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Фун-ия назыв. непрерывной в точке х_0, если она удовлетворяет 3м условиях: 1) определена в точке х₀ (т.е. сущ-ет )) 2) имеет конечный предел фун-ии при 3) этот предел равен значению фун-ии в точке х_0, т.е.

Фун-ия назыв. непрерывной в точке х_0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечное малое приращение фун-ии:

Все простейшие ф.являются непрерывн на своей обл.опред.

Разрывная функция - функция, имеющая разрыв в некоторых точках.

Точка x_о называется точкой разрыва ф.если в это точке ф. не является непрерывной.

Различают точки разрыва: первого рода (когда сущ-ет конечные односторонние пределы фун-ии слева и справа , не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не сущ-ет

9. Основные теоремы о непрерывных функциях.

1)Если фун-ия непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке

2)Пусть f(x) определена и непрерывна в х₀,f(x₀)≠0,тогда сущ. δ >0 такое что для всех х, удовл. условию Ιх-х₀Ι<δ,тогда х ∈(x₀-δ, x₀+δ), то ф.имеет тот же знак, что и f(x₀)

3)Если фун-ция непрерывна на отрезке [a;b] и значения её на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка , такая, что

4)Пусть f(x) и g(x) непрерывны в т. х_о. Тогда и f(x)+(-) g(x), f(x) *(/) g(x) так же непрерывны в х₀.

Теоремы о непрер.сложной и обратной ф.

1.Пусть функция j(x) непрерывна в точке x₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(x₀). Тогда функция f(j(x)) непрерывна в точке x₀.

2.Пусть f(x) определена,непрерыв. И строго монотона на нек. промежутке Х. Тогда на У обратная ф. х =µ(у) однозначна, непрерывна и строго монотонна.

10. Понятие производнойю Геометрический и физический смысл производной.

Производной фун-ии назыв. предел отношения приращения фун-ии к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-ет):

Замечание: если вычесленный предел равен ∞,говорим произв .=∞. Если произв. Конечно, то её можно снова рассматривать как фун.

Нахождении производ. фун-ии назыв. дифференцированием этой фун-ии.

Геометрич. смысл произв-ой: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к кривой

Физич. смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент :

11. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие.

Если фун-ция в точке х имеет конечную производную, то фун-ия назыв. дифференцируемой в этой точке. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение представимо в виде:

Δy =A* Δx+α(Δx)(Δx) ,

где A — число, не зависящее от Δх, а α(Δx) –б.м.ф.

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную.

Необходимо

Дано: Δy=A Δx+α(Δx) Δx

Док-ть.y’(x₀)=A

y’(x0)=LimΔy/Δx

(Δx →0)=Lim(A+α(Δx))=A

Достаточно

F’(x)=Lim Δy/Δx есть некое конечное число

Док-ть. : Δy=A Δx+α(Δx) Δx

Lim(Δx→0) (A Δx+α(Δx) Δx)/ Δx=A