1. Понятие функции одного переменного. Виды и способы задания функции.

Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие поставлено в соответствии элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции. Функция,все значения которой равны между собой,называется постоянной.Если задана фу-ция у = f(x),и задано х_о, то y₀=f(x_o). Ограниченная фун-ция: если все значения функции удовлетворяют f(x)≤M-сверху, если f(x)≥m-снизу, если m≤ f(x) ≤M ограниченная(и сверху, и снизу).

График-кривая, ряд отрезков, точки.

Способы задания фун-ий.

а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)

б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).

в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).

Сложная ф. Если на некотором множестве Х задана ф. у = f(x) со множеством значений У, а на множестве У задана ф.z=µ(x),то говорят,что ф. z=µ(x),–сложная ф.от х,а у -промежуточная переменная.

Пусть х и у некоторые множ.,задана ф. у = f(x),(х;у).Если в каждой паре этого множ.пар мы поменяем местами х и у, то полученное множ.пар(у;х) называется обратной ф. µ(у)=х.

Элементарные-ф.полученные с помощью конечного числа арифм. действия над простейшими.

3. Односторонний предел. Существование предела в точке.

Число А назыв. односторонним пределом справа(слева) ф.f(x) в точке x_0,если для ∀ε>0 δ=δ (ε)>0, такое, что для всех x∈X,x∈x_о

x₀-δ<x<x₀. (x₀<x<x₀+δ) лев

Сущ-ие предела в точке. Ф. f(x)имеет предел в точке х_о тогда и только тогда, когда существует как правый предел, так и левый, и при этом они равны.

Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х → ∞, если для любого ε>0, ∃δ=δ(ε)>0, такое что для всех х∈Х удовлетворяющих x>δ выполняется неравенство

2. Предел функции и его свойства.

Пусть на множестве Х определена f(x),некоторую точку Х_о(не обязательно € Х).Выберем на Х последовательность точек, отличных от Х_о,стремящихся к Х_о 1)х₁,х₂,х₃→ Х_о.2)f(x), f(x₂),f(x₃) →∞,или →А, или предел не сущ.

по Гейне.Если для различных последовательностей x_n, стремящихся к x₀, последовательность значений функции f(x_n) сходится к некоторому числу C, то это число называется пределом функции f(x).

по Коши. Число А называется пределом фун. f(x) в точке Х_о., если ∀ε>0 ∃δ= δ (ε)>0, для всех х € Х и х ¢ Х_о, удовлетв. условию Ιх- x_оΙ< δ выполняется след.: Ιf(x)-AΙ < ε.

Теоремы опред по Г. И по К. эквивалентны.

Свойства предела: предел единственен и фун. в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине: