Частотная интерпретация процесса интерполяции цифрового сигнала
Рассмотрим теперь частотную интерпретацию процесса интерполяции цифрового сигнала с целочисленным коэффициентом L = 3.
Пусть спектр исходного сигнала имеет вид, изображенный на рисунке 13.2,а.
После дискретизации исходного сигнала с частотой дискретизации
модуль
спектра
имеет вид, изображенный на рисунке
10.2,б.
При
дискретизации же с частотой в три раза
выше,
или
получим модуль спектра
дискретизированного сигнала
(рисунок 13.2,в).
Рисунок 13.2 – Спектры сигналов при интерполяции цифрового сигнала
Отличие
между этими спектрами состоит в том,
что (не считая амплитуды) в спектре
имеются “лишние” частотные составляющие
с центральными частотами
и
.
Таким образом, процесс повышения частоты дискретизации сигнала эквивалентен преобразованию спектра сигнала от вида 13.2,б к виду 13.2,в, т.е. к подавлению “лишних” частотных составляющих исходного спектра с помощью цифрового фильтра.
Лекция 14. Общие сведения и основные понятия цифровой интерполяции сигналов с целочисленными коэффициентами
Цель лекции - изучить работу эспандера.
Эспандер частоты
Процесс интерполяции осуществляется путем цифровой фильтрации с целью подавления “лишних” составляющих спектра. Однако цифровой фильтр работает на определенной частоте дискретизации. Следовательно, перед цифровой фильтрацией сигнала необходимо осуществить предварительное увеличение частоты дискретизации исходного
сигнала в нужное число раз L. Эту операцию осуществляет эспандер частоты дискретизации (ЭЧД).
Входным сигналом ЭЧД является дискретный сигнал с интервалом дискретизации (частотой ) ,
Сигнал
преобразуется в сигнал
по алгоритму:
Таким образом, формируется выходной дискретный сигнал с интервалом дискретизации
,
который в L раз меньше исходного, или
частотой дискретизации
– в L раз больше исходной.
Последовательность
получается из последовательности
путем ввода
нулевых отсчетов между каждой парой
отсчетов исходной последовательности.
Получим связь между спектром
и
.
Для этого вначале найдем Z-преобразование
сигналов
и
.
Z-преобразование входной последовательности:
,
(14.1)
где
.
,
(14.2)
где
.
Поскольку
,
то очевидно, что
.
Преобразуем теперь (14.2) учтя, что
для
.
(14.3)
Если учесть, что
,
а
и, следовательно,
,
то сравнив (14.3) с (14.1), получим:
(14.4)
Это означает, что Z-преобразование входного и выходного сигналов ЭЧД тождественны.
Соотношения для спектров получим из (14.4), подставив вместо
и
или
где
– нормированная частота.
Таким образом, выходной сигнал ЭДЧ:
, формируемый из входного по алгоритму имеет тот же спектр, что и входной сигнал.
Спектр выходного сигнала ЭЧД периодичен со “старой” частотой дискретизации
,
а не с “новой” частотой
,
как это обычно имеет место для сигналов, интервал дискретизации которых равен Т.
Простейшая система интерполяции с целочисленным коэффициентом L
Входным сигналом является сигнал
, с интервалом дискретизации .
Предполагается, что сигнал
с ограниченным спектром занимает полосу
частот от
.
Частота дискретизации
.
Входной сигнал поступает на экспандер частоты дискретизации, осуществляющий предварительное увеличение частоты дискретизации в L-раз по алгоритму (11.1):
.
Спектры
входного и выходного сигналов ЭДЧ равны
и периодичны с частотой
.
Выходной сигнал ЭДЧ обрабатывается "идеальным" цифровым фильтром НЧ с передаточной функцией и импульсной характеристикой , задачей которого является подавление “лишних” частотных составляющих спектра
,
занимающих область частот
.
Частотные характеристики фильтра должны удовлетворять условию:
(14.5)
В качестве ФНЧ могут быть использованы как КИХ так и БИХ-фильтры. КИХ-фильтры позволяют достаточно просто строить эффективные системы преобразования частоты дискретизации сигналов. Как известно, КИХ фильтры имеют передаточную функцию
(14.6)
и линейную ФЧХ
.
Они могут иметь нечетное (КИХ-фильтры 1-го вида) и четное (КИХ-фильтры 2-го вида) число отсчетов N импульсной характеристики
.
Для фильтров 1-го вида (N – нечетное)
– целое число
Поскольку величина R определяет задержку числа во временной области, вносимую фильтром при обработке сигнала, то задержка
равна целому числу интервалов дискретизации Т.
При этом процесс интерполяции соответствует варианту 1, т.е. увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции, когда сохраняются отсчеты входного сигнала, модуль спектра и форма огибающей входного сигнала.
Для КИХ-фильтров 2-го вида (N – четное)
– нецелое число.
Процесс интерполяции в этом случае соответствует варианту 2, когда сохраняются и модуль спектра и форма огибающей входного сигнала, но не сохраняются его отсчеты.
Минимально-фазовые КИХ обладают нелинейной ФЧХ
Процесс интерполяции соответствует варианту 3: сохраняется модуль спектра, но не сохраняется форма сигнала.
БИХ-фильтры обладают, как правило, нелинейной ФЧХ и в случае их использования тоже сохраняется модуль спектра, но не сохраняется форма исходного сигнала (вариант 3).
Основная литература:
1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.
2. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. - М.: "Вильямс", 2004, 992 с
Дополнительная литература:
3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М. : Высшая школа, 1988.- 448 с.
4. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.
5. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993.- 350 с.
6. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 448 с.