Построение частотных характеристик цф

Одним из важных показателей ЦФ является комплексный частотный коэффициент передачи

. (12.1)

Если учесть, что

– системная функция ЦФ,

то для получения достаточно в выражении для заменить z на , т.е.

(12.2)

Для нерекурсивных ЦФ:

.

Тогда .

Поскольку все частотные характеристики зависят при постоянном Т от произведения , то вместо можно ввести новую переменную – нормированную частоту. Как правило, используют два способа нормирования частоты. При первом способе полагают

.

В этом случае период всех частотных характеристик равен и требования к ним следует задавать на интервале . При втором способе полагают ,

где .

В этом случае период дискретизации равен и требования следует задавать на интервале .

Будем считать, что нормированной частотой является частота:

.

Тогда

. (12.3)

Из (10.3) легко получить АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра

. (12.4)

Для рекурсивного ЦФ

(12.5)

Из выражений (12.3) и (12.5) следует ряд важных свойств:

все частотные характеристики ЦФ являются непрерывными функциями частоты;

все частотные характеристики являются периодическими функциями частоты f с периодом повторения частоты дискретизации:

(или 1 в масштабе нормированных частот ), поскольку в выражении для входит периодическая функция ;

АЧХ есть четная функция от частоты, ФЧХ – нечетная функция частоты

.

Из этих свойств следует, что требования к частотным характеристикам следует задавать лишь на интервале в половину периода, т.е.

.

Типовые звенья дискретной цепи.

Типовыми звеньями дискретной цепи считаются звенья 1-го и 2-го порядков. Они получаются из общей структуры (канонической схемы), если оставить в ней один или два элемента задержки.

Типовое звено первого порядка с передаточной функцией

имеет АЧХ, равную

.

Типовое звено 2-го порядка имеет передаточную функцию вида

.

Пример 12.1. Построить график АЧХ звена 1-го порядка, у которого .

Передаточная функция такого звена

.

Чтобы цепь была устойчивой необходимо выполнить условие .

При:

.

Отсюда видно, что достаточно заменить на противоположные знаки нечетных коэффициентов знаменателя передаточной функции фильтра и фильтр из фильтра нижних частот превращается в фильтр верхних частот.

Вопросы, касающиеся проектирования цифровых фильтров достаточно подробно рассмотрены в [3] и [9].

Лекция 13. Общие сведения и основные понятия цифровой интерполяции сигналов с целочисленными коэффициентами

Цель лекции - изучить вопросы интерполяции цифрового сигнала; работу эспандера.

Увеличение частоты дискретизации (интерполяция) цифрового сигнала

До сих пор рассматривались алгоритмы и устройства обработки цифровых сигналов при определенной (фиксированной) частоте дискретизации и соответствующем интервале дискретизации

.

Вместе с тем в современных системах связи и радиотехники часто используются устройства и каналы связи с различными частотами дискретизации. Так, на разных участках канала в современном цифровом оборудовании радио- и телецентров приняты следующие стандарты на частоту дискретизации звуковых сигналов:

48 кГц – для обработки сигналов;

32 кГц – для передачи по каналу связи;

44,1 кГц – для лазерного проигрывателя.

Для ТV-сигналов – 13,5 МГц – для формирования и обработки сигналов, а в различных системах компрессии частота дискретизации может понижаться в 40 раз.

Таким образом, для обеспечения совместной работы различных источников сигнала, системы обработки и каналов связи необходимо осуществить сопряжение частот дискретизации, т.е. преобразование сигналов с частотой дискретизации

в частоту

.

Аналогичная задача возникает в технике многоканальной связи (преобразование стандартной частоты дискретизации 60-канальной группы с частотным разделением каналов, равной 576 кГц, в частоту 512 кГц для передачи по каналу связи).

Процесс преобразования цифрового сигнала от более низкой частоты к более высокой традиционно называют интерполяцией цифрового сигнала.

Процесс преобразования от более высокой частоты к более низкой называется децимацией ЦС.

Процесс преобразования частоты дискретизации стал в дальнейшем использоваться и при построении эффективных в смысле вычислительных затрат многоскоростных систем обработки ЦС, в которых различные этапы обработки выполняются на разных частотах дискретизации.

В настоящей главе мы рассмотрим основные алгоритмы интерполяции ЦС, а также структуры соответствующих устройств ЦОС. Алгоритмы и структуры устройств децимации сигналов будут рассмотрены позднее.

В ЦОС под термином интерполяция подразумевается процесс ЦОС, приводящий к формированию сигнала с повышенной частотой дискретизации из сигнала с более низкой частотой дискретизации при определенных ограничениях на временные и спектральные изменения исходного сигнала. Таким образом, новый интервал дискретизации равен

; – прежний интервал дискретизации.

Можно выделить три разновидности процесса интерполяции при ЦОС:

Увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции. В этом случае в исходных точках отсчетов или отсчеты новой и старой функции совпадают:

.

Т.е. если исходная функция содержала отсчет, то полученная функция содержит отсчет (между каждой парой отсчетов добавляется еще несколько отсчетов ).

При увеличении частоты дискретизации исходные отсчеты дискретного сигнала оказываются утерянными, однако отсчеты выходного сигнала могут рассматриваться как отсчеты исходного аналогового сигнала из которого путем дискретизации с интервалом был образован исходный дискретный сигнал . В этом случае огибающая сигналов и , а так же их спектр – не изменяются.

Увеличение частоты дискретизации приводит к изменению формы интерполируемого сигнала, однако модуль его спектра не изменяется.

Во всех случаях процесс преобразования описывается структурной схемой (рисунок 10.1).

Рисунок 13.1

Входной аналоговый сигнал поступает на идеальный дискретизатор Д, работающий с интервалом дискретизации (L – целое число). Выходной дискретный сигнал , поступает на идеальный интерполятор ИИ, увеличивающий частоту дискретизации в L раз. Таким образом, сигнал можно рассматривать как результат дискретизации исходного аналогового сигнала с интервалом дискретизации . Выходной сигнал системы , получается в результате преобразования выходного сигнала ИИ линейной дискретной системой с частотной характеристикой

(13.1)

Иными словами АЧХ системы:

, т.е. форма модуля спектра не изменяется, а

ФЧХ для разных случаев может быть разной.

Для случая 1:

Дискретная система обладает линейной ФЧХ, т.е.

– целое число, не зависит от частоты,

ФЧХ имеет вид:

(линейно зависит от частоты).

Для случая 2:

дискретная система обладает линейной ФЧХ:

, т.е. , но

– нецелое число.

Случай 3: Дискретная система обладает нелинейной ФЧХ, т.е.

– зависит от частоты;

в этом случае огибающая сигнала не является отсчетами сигнала , но модуль спектра сигнала в основной полосе частот по прежнему имеет тот же вид, что и модуль спектра входного сигнала , поэтому по

дискретному сигналу может быть восстановлен аналоговый сигнал , модуль спектра которого совпадает с модулем спектра исходного сигнала , т.е. информация не будет утеряна.