Лекция 1. Обобщенная схема цифровой обработки сигналов

Цель лекции – изучить задачи ЦОС.

Введение

Благодаря успехам микроэлектроники системы ЦОС не только воплотились в реальность, но и вошли в нашу повседневную жизнь в виде CD- и DVD-проигрывателей, модемов, сотовых телефонов и многого другого. Более того, в некоторых прикладных областях ЦОС стала вытеснять “традиционную” (аналоговую). В значительной степени это произошло в аудиотехнике, телефонии. Интенсивно идет процесс перехода телевизионного вещания на цифровую основу.

Бурное развитие цифровых технологий во многом изменило как стиль самого понятия “радиотехника”, так и требования, предъявляемые к подготовке специалистов в этой области, сделав необходимыми новые знания и умения.

Фундаментальные труды [1], [2] изданы давно и в настоящее время малодоступны. Начавшие появляться в последнее время книги, посвященные цифровым сигнальным процессорам, (например [3]), уделяют большое внимание архитектуре процессоров и средствам разработки программ для них, нежели теоретическим вопросам и алгоритмам.

В этом плане в конспекте лекции охвачены некоторые актуальные теоретические вопросы по основам цифровой обработки сигналов в телекоммуникационных системах.

Задачи ЦОС

Задачи ЦОС сигнала обычно сводятся к трем действиям:

ввод цифрового сигнала, или преобразование входного аналогового сигнала в цифровую форму; обработка полученного массива данных с использованием различных алгоритмов; вывод полученного результата, или обратное преобразование цифрового сигнала в аналоговую форму.

Перечисленные преобразования должны происходить по определенным правилам, смысл которых отображен на рисунке 1.1, где показаны основные элементы обобщенной схемы ЦОС.

Обобщенная схема ЦОС

На вход системы поступает ограниченный по длительности аналоговый сигнал x(t). В силу конечной длительности сигнала его спектр бесконечен.

Бесконечность спектра является препятствием для преобразования сигнала x(t) в цифровую форму. Для ограничения спектра используется фильтр нижних частот ФНЧ. Спектр ограничивается верхней частотой Fв. Далее сигнал поступает на вход аналого-цифрового преобразователя, в котором осуществляется дискретизация сигнала по времени и квантования по уровню. При дискретизации аналоговый сигнал заменяется отсчетами мгновенных значений , взятыми через интервал времени (интервал дискретизации) Т (рисунок 1.2,а). Чем меньше интервал дискретизации Т,

Рисунок 1.1- Обобщенная схема ЦОС

тем точнее последовательность отсчетов будет отображать исходный сигнал. Интервал дискретизации определяет частоту дискретизации

; . (1.1)

Чем выше , тем труднее вычислителю выполнить большое количество операций над отсчетами в темпе их поступления на переработку, и тем сложнее должно быть его устройство. Таким образом, точность представления сигнала требует увеличить , а стремление сделать вычислитель как можно более простым приводит к желанию понизить .

Однако существует ограничение на минимальное значение : для полного восстановления непрерывного сигнала по его отсчетам необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была, как минимум, в два раза больше наивысшей частоты в спектре передаваемого сигнала , т.е.

(1.2)

Соотношение (1.2) получило название теоремы Котельникова.

Реальные сигналы ограничены во времени, поэтому их спектр бесконечен (рисунок 1.2,б). Отсюда следует, что при дискретизация невозможна.

Тем не менее, в спектре любого конечного сигнала есть такие частоты, которые, начиная с некоторой , имеют незначительные амплитуды, и поэтому ими можно пренебречь без заметного искажения самого сигнала. Значения определяется конкретным типом сигнала и решаемой задачи. Например, для стандартного телефонного сигнала

кГц - минимальная стандартная частота его дискретизации кГц. Ограничение спектра до частоты осуществляется аналоговым ФНЧ, получившем название антиэлайсингового.

Сигнал и его спектр на выходе ФНЧ изображены на рисунке 1.2,в).

Квантование отсчетов по уровням (или квантование) производится с целью формирования последовательности чисел: весь диапазон изменения величины отсчетов разбивается на некоторое количество дискретных уровней N, и каждому отсчету по определенному правилу присваивается значение одного из двух ближайших уровней квантования, между которыми оказался данный отсчет (рисунок 1.2,е).

В результате получается последовательность чисел , представляемых в двоичном коде. Количество уровней определяется разрядностью п АЦП; так если п = 3, то всего можно иметь уровней квантования, а минимальное и максимальное значения отсчетов соответственно и . Ясно, что квантованный отсчет отличается от выборки . Это отличие является ошибкой квантования:

, (1.3)

которое теме больше, чем меньше п. Максимальная ошибка квантования равна половине шага квантования .,т.е

,

где (1.4)

Отсюда следует, что чем больше разрядность АЦП, тем точнее представляется отсчет и тем сложнее и дороже оказывается АЦП. Современные АЦП имеют разрядность от 8 до 20.

Последовательность поступает на вычислитель, который по заданному алгоритму каждому отсчету ставит в однозначное соответствие выходной отсчет

.

Результатом обработки исходного сигнала является новая цифровая последовательность – цифровой сигнал (рисунок 1.2,ж), существенно отличающийся от . Количество операций (умножений, сложений, пересылок и т.д.) для получения одного отсчета может исчисляться тысячами, поэтому вычислитель должен работать на более высокой тактовой частоте , чем , чтобы успеть произвести все необходимые действия до поступления очередного отсчета , т.е. какой бы сложности не был алгоритм, время переработки не должно превышать периода дискретизации

Рисунок 1.2. Непериодические сигналы и их спектры

Именно при этих условиях возможна работа вычислителя в реальном масштабе времени, т.е. в темпе поступления входных отсчетов.

Например, при обработке стандартного телефонного сигнала с кГц для обеспечения работы вычислителя в реальном масштабе времени тактовая частота должна быть по крайней мере 6 МГц, как в процессорах первого поколения TMS320C10.

Полученные выходные отсчеты подаются на цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), формирующий ступенчатый сигнал – (рисунок 1.2,з), который затем с помощью сглаживающего фильтра НЧ преобразуется в аналоговый выходной сигнал (рисунок 1.2,ж).

Из всего сказанного вытекает ряд ограничений, влияющих на характер и выбор элементной базы для реализации вычислителя:

разность регистров вычислителя должна быть большой и превышать разность ЦАП во избежание дополнительных ошибок при округлении результатов вычислений;тактовая частота, на которой работает вычислитель, должна в сотни раз превосходить частоту дискретизации, если предъявляются требования реального времени.

Лекция 2. Ряд Фурье

Определение периодических несинусоидальных сигналов

Периодическими несинусоидальными сигналами называются сигналы, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Например, периодические несинусоидальные токи и напряжения возникают в четырех принципиально различных режимах работы электрических цепей:

- если источник эдс (тока) дает несинусоидальную эдс (ток), а все элементы в цепи линейные.

- если источник эдс (тока) дает синусоидальную эдс (ток), один или несколько элементов в цепи нелинейные.

- если источник эдс (тока) дает несинусоидальную эдс (ток), и в состав цепи входят нелинейные элементы.

- если источник эдс (тока) дает потоянную или синусоидальную эдс (ток), а в цепи имеются элементы, параметры которых изменяются во времени.

Изображение периодических несинусоидальных сигналов рядами Фурье

Из курса математики известно, что любая периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье.

Ряд Фурье имеет вид:

f (x) = A + A′₁sinx + A′₂sin2x + … + A′_n sinnx + A″₁cosx + A″₂cos2x + … +

+ A″_kcoskx – синусно-косинусная форма ряда Фурье

где A - постоянная составляющая;

A′₁ - амплитуда синусной составляющей первой гармоники;

A′₂- амплитуда синусной составляющей второй гармоники;

A′_n - амплитуда синусной составляющей n-ой гармоники;

A″₁- амплитуда косинусной составляющей первой гармоники;

A″₂- амплитуда косинусной составляющей второй гармоники;

A″_k- амплитуда косинусной составляющей n -ой гармоники.

A =(1/2π)

A′₁ =(1/2π)

A′₂= (1/2π)

A′_n = (1/2π)

A″₁= (1/2π)

A″₂= (1/2π)

A″_n = (1/2π)

Если в ряду Фурье заменить x на ωt, то получим:

f (ωt) = A + A′₁sinωt + A′₂sin2ωt + … + A′_n sinnωt + A″₁cosωt + A″₂cos2 ωt + … +

+ A″_kcosk ωt – синусно-косинусная форма ряда Фурье

Ряд Фурье может быть записан в другой форме:

f(x) = A +A sin(x+φ ) + A sin(2x+φ ) + … + A sin(nx+φ_n) – синусная форма ряда Фурье

где A =

Составляющие члены ряда Фурье называют гармониками ряда Фурье.

Гармоники, для которых n – число четное называют четными гармониками, гармоники, для которых n – число нечетное называют нечетными гармониками. Первую гармонику называют основной гармоникой.

Если в ряду Фурье заменить x на ωt, то получим:

f(ωt) = A +A sin(ωt +φ ) + A sin(2ωt +φ ) + … + A sin(nωt +φ )

В качестве функции f(ωt) могут быть ток i(ωt), напряжение u(ωt) и другие величины.

Если от синуса перейти к косинусу, то получим вещественную форму ряда Фурье.

f(ωt) = A +A₁cos(ωt +ψ₁) + A₂ cos (2ωt + ψ₂) + … + A_n cos (nωt + ψ_n) - вещественная форма ряда Фурье.

Некоторые свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Периодические кривые, обладающие тем или иным видом симметрии, имеют свои свойства. Рассмотрим эти свойства.

Если кривая симметрична относительно оси абсцисс, то есть удовлетворяет условию:

–f(x + π) = f(x),

то в разложении в ряд Фурье таких кривых отсутствуют постоянная составляющая Ао и четные гармоники. Поэтому такие кривые раскладываются в ряд Фурье следующим образом:

f (ωt) = A sin(ωt +φ ) + A sin(2ωt +φ ) + … + A sin(nωt +φ )

Если кривая f(x) симметрична относительно оси ординат, то есть удовлетворяет условию:

f(–x) = f(x),

то в разложении в ряд Фурье таких кривых отсутствуют синусные составляющие, и присутствуют постоянная составляющая и все косинусные составляющие.

Такие кривые раскладываются в ряд Фурье следующим образом:

f(x) = A +A "cos(x) + A " cos (2x) + … + A " cos (nx)

Если кривая f(x) симметрична относительно начала координат, то есть удовлетворяет условию:

–f(–x) = f(x),

то в разложении в ряд Фурье таких кривых отсутствуют синусные постоянная составляющая и все косинусные составляющие.

Такие кривые раскладываются в ряд Фурье следующим образом:

f(x) = A 'sin(x) + A 'sin (2x) + … + A ' sin (nx)

Комплексная форма ряда Фурье

Данная форма является наиболее употребляемой в радиотехнике. Она имеет следующий вид:

f (ωt) = C_ne^{j n ω1t},

где комплексные коэффициенты ряда связаны с амплитудами A_n и фазами φ_n следующими соотношениями:

C_n = (1/2) A_n e^jφ(n)

φ_n = arg(C_n)

Формула расчета коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме:

C_n =

Где Т - период сигнала

Если функция f (ωt) – четная, то коэффициенты ряда C_n будут чисто вещественными, а если функция f (ωt) – нечетная, то коэффициенты ряда C_n будут чисто мнимыми.

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз – фазовым спектром

Лекция 3. Основные типы сигналов и их спектры

Цель лекции - рассмотреть виды сигналов и их спектральное представление

Введение

Сигнал – это физический процесс, содержащий в себе некоторую информацию. На практике чаще всего используются электрические сигналы. При этом, носителем информации является изменяющиеся во времени ток или напряжение в электрической цепи. Электрические сигналы легче обрабатывать, чем другие, они хорошо передаются на большие расстояния.

Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы.

Аналоговые сигналы (АС)

Большинство сигналов имеют аналоговую природу, т.е. изменяются непрерывно во времени и могут принимать любые значения на некотором интервале. Аналоговые сигналы описываются некоторой математической функцией времени x(t). Пример АС – гармонический сигнал:

x(t) = X_msin (ωt + φ)

или экспоненциальный сигнал

x(t) = Ae^-at

Аналоговые сигналы используются в телефонии, радиовещании, телевидении. Ввести такие сигналы в компьютер и обработать его невозможно, т.к. на любом интервале времени он имеет бесконечное множество значений, а для точного (без погрешности) представления его значения требуются числа бесконечной разрядности. Поэтому необходимо преобразовать аналоговый сигнал так, чтобы можно было представить его последовательностью чисел заданной разрядности.

Дискретный сигнал

Дискретизация аналогового сигнала состоит в том, что сигнал представляется в виде последовательности значений, взятых в дискретные моменты времени t = nT . Эти значения называются отсчетами, а T = const- называется интервалом (периодом) дискретизации. Конечную последовательность отсчетов записывают таким образом: .

Например: .

Здесь:

; ; ; .

Цифровые сигналы

Для того чтобы представить дискретный сигнал последовательностью чисел конечной разрядности, его следует подвергнуть операции, которая называется квантованием. Вся область значений сигнала разбивается на уровни, количество которых должно быть представлено в числах заданной разрядности.

Расстояния между этими уровнями называется шагом квантования - ∆. Число этих уровней равно N (от 0 до N-1). Каждому уровню присваивается некоторое число: . Отсчеты сигнала сравниваются с уровнями квантования и в качестве сигнала выбирается число, соответствующее некоторому уровню квантования .

Каждый уровень квантования кодируется двоичным числом с п разрядами, например: ; ; и т.д. Число уровней квантования и наименьшее число разрядов п двоичный чисел, кодирующих эти уровни, связаны соотношением

,

Например, при

N=4	п=2
N=6	п=3
N=9	п=4
N=32	п=5	и т.д.

Если кодируемая функция может принимать как отрицательные, так и положительные значения, то знак функции кодируется, как правило, с помощью специального знакового разряда. Пример цифровых сигналов – сигналы импульсно-кодовой модуляции, использующиеся в системах многоканальной связи.

Рассмотрим примеры некоторых дискретных сигналов, полученных из типовых аналоговых сигналов.

Единичный ступенчатый сигнал в аналоговой форме:

В дискретной форме:

– сдвинутая последовательность, которая образуется при сдвиге последовательность вправо при и влево при .

Импульс Дирака или -функция в аналоговой форме:

В дискретной форме:

Таким образом, математическая запись любого дискретного сигнала имеет вид:

, (3.1)

т.к. все члены при равны 0.

Например, последовательность может быть записана в виде:

Итак, дискретный сигнал представляет сумму -функций, следующих с интервалом времени Т. Эти функции имеют амплитудные коэффициенты, равные отсчетам сигнала в точках дискретизации .

Как часто следует брать отсчеты?

Их следует брать так часто, чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые изменения сигнала. Иначе, при восстановлении этого сигнала по дискретизированным отсчетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от формы исходного сигнала.

Периодической называют последовательность ,удовлетворяю­щей условию:

, где

m и N – целые числа,

m = 1, 2, …; NТ – период последовательности.

Лекция 4. Основные типы сигналов и их спектры

Цель лекции - рассмотреть виды сигналов и их спектральное представление

Спектры аналоговых и дискретных сигналов

Для описания аналоговых и дискретных сигналов в частотной области используется аппарат преобразования Фурье. Спектром аналогового сигнала называют прямое преобразование Фурье

, (4.1)

где – комплексная спектральная плотность.

В свою очередь сигнал может быть восстановлен по его спектру (обратное преобразование Фурье):

. (4.2)

В соответствии с принципом неопределенности сигнал , имеющий ограниченную протяженность во времени имеет неограниченный по полосе спектр и наоборот.

Здесь – модуль комплексной спектральной плотности , или спектр амплитуд. Непериодический сигнал бесконечной протяженности во времени имеет сплошной спектр, ограниченный по частоте.

Если сигнал является периодическим с периодом , равным его длительности, то его спектр будет дискретным .

Теперь вместо используют отсчеты . Интервал дискретизации спектра по частоте F определяется, как известно, периодом сигнала, в данном случае:

.

Формула для прямого и обратного преобразования Фурье получаются из (4.1) и (4.2) путем замены непрерывной частоты f на дискретные значения пF.

Таким образом, спектр периодического сигнала вычисляется по формуле

, (4.3)

где - комплексная амплитуда п-й гармоники.

Сигнал можно восстановить по его дискретному спектру, воспользовавшись формулой

(4.4)

Выражение (3.5) является комплексным представлением ряда Фурье. Из соотношения (3.5) нетрудно увидеть, что спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье и содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Однако, отрицательных частот в природе не существует, и это не реальное понятие, а математическая абстракция. Они появляются как следствие формального представления гармонических колебаний комплексной формой записи.

Легко доказать, что при переходе к тригонометрической форме записи

,

где ;

понятие “отрицательная частота” теряет смысл.

; ; .

В соответствии с принципом дуальности можно сказать: если периодическим является спектр, то дискретным будет сигнал.

Обозначая период повторения спектра дискретного сигнала , получим интервал дискретизации:

.

Формулы прямого и обратного преобразования Фурье для дискретного сигнала имеют вид:

, (4.5)

, (4.6)

Величину называют комплексной спектральной плотностью дискретного сигнала.

Лекция 5. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Z-преобразование дискретного сигнала.

Цель лекции – изучить ДПФ и Z-преобразованиия дискретного сигнала, методы определения преобразования, таблицу Z-преобразования.

Введение

Мы уже отмечали, что развитие вычислительной техники привело к появлению цифровых систем обработки сигнала. При этом, как сигнал, так и его спектр необходимо перед вводом в вычислительное устройство представить в виде отсчетов, т.е. чисел. В настоящее время обработка сигналов чаще всего производится в частотной области, что диктуется значительным сокращением объема цифровой аппаратуры и времени обработки. Как же представить спектр сигнала в виде отсчетов?

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Пусть дискретной обработке подвергается аналоговый сигнал , имеющий спектр и длительность .

Подвергнем этот сигнал дискретизации, т.е. заменим его отсчетами , взятыми в момент времени .

Полное число отсчетов этого сигнала равно

, где – интервал дискретизации.

Спектр дискретного сигнала станет периодическим с периодом повторения .

Мысленно продолжим дискретный сигнал с периодом равным длительности сигнала . Поскольку дискретный сигнал стал периодичным, то его спектр станет дискретным с частотой дискретизации спектра;

.

Используя преобразования Фурье для периодического сигнала, найдем комплексные амплитуды соответствующих коэффициентов

этого ряда:

,

так как

, а , то произведение

и окончательно получим

, (5.1)

Формула (4.1) получила название прямого дискретного преобразования Фурье (ПДПФ).

– это комплексные отсчеты спектра периодического дискретного сигнала . Поскольку частота дискретизация спектра

,

а , то в интервале будет укладываться

отсчетов спектра дискретного сигнала .

Теперь обработку сигнала можно осуществлять в частотной области, вводя в ЭВМ отсчеты спектра сигнала, что значительно сокращает время обработки дискретного сигнала.

Это фундаментальное для дискретных сигналов соотношение представляет собой алгоритм вычисления гармонических составляющих по заданным дискретным отсчетам аналогового сигнала .

Отметим некоторые очевидные свойства ПДПФ.

1) Дискретное преобразование обладает свойствами линейности: сумме (разности) дискретных сигналов соответствует сумма (разность) их ДПФ.

2) Число определяемых коэффициентов : равно числу отсчетов N за период сигнала . При коэффициент .

3) Коэффициент (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчетов:

.

4) Если N – четное число, то

.

5) Коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно образуют сопряженные пары

,

т.е. можно считать, что коэффициенты

, , …, соответствуют отрицательным частотам. При изучении спектра сигнала они не дают новых сведений.

При изучении теории ДПФ возникает вопрос: можно ли по известным коэффициентам ДПФ вычислить отсчетные значения непрерывного сигнала? Да, можно. В этом случае используется обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ):

, (5.2)

Формулы (5.1) и (5.2) являются аналогами прямого и обратного преобразования Фурье для непрерывных сигналов.