Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Аналитическая геометрия

Файл:

Ангем.Шпоры.А-фак / Shpory_Angem_1_3_4_5

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

180.27 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Билет 1.

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Их свойства.

Векторы. Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается , ).

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают , а также , если векторы сонаправлены, и , если они противоположно направлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены () и имеют равные длины (). Обозначают .

Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается и удовлетворяет условиям: , .

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены () и имеют равные длины (). Обозначают .

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается (рис. 1).

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор – диагональ параллелограмма – является суммой векторов и (рис. 2).

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

Рис. 3

Вычитание векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор :  .

Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности (рис. 5).

Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1) ,

2) при и при .

Очевидно, что при .

Построим, например, векторы и для заданного вектора (рис. 6).Рис. 6

Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :

(2.1)

Свойства линейных операций:

1) ;

2) ;

3) ; ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; ;

Пусть дан вектор . Ортом вектора (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором .

Очевидно, для любого вектора .

Билет 3.

Базис в плоскости и пространстве. Разложение по базису. Линейные свойства координат вектора.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , , – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Пусть – произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O () и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор является диагональю (рис. 11). Тогда , где , , – составляющие вектора по осям Ox, Oy, Oz. Но , аналогично,

Рис. 11

Обозначая , , , получим .

Это равенство называется разложением вектора по базису , , , а числа , , называются координатами вектора в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут или .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

(2.2)

(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).

Если , где , , то , , . Тогда , или

так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:

если , , , то

1) , , – равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2) – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3) – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4) , , , то есть –

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Билет 5.

Скалярное произведение, его свойства. Выражение через координаты сомножителей.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Учитывая, что , , можно записать: . Отсюда

. (2.8)

Из физики известно: если – постоянная сила, действующая на материальную точку, а – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой на участке l, равна .

Свойства скалярного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , или , или .

Таким образом, – условие перпендикулярности векторов.

5) , или, обозначая (скалярный квадрат вектора ), получим , откуда .

Пусть известны координаты векторов и : , .

Тогда

Таким образом,

Билет 4.

Ортонормированные базисы. Их свойства. Проекция вектора на ось. Направляющий косинус вектора.

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

можно найти так:

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e₁,e₂,...,e_n,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

называемого рядом Фурье элемента x по системе {e_n}.

Часто базис {e_n} выбирается так, что | e_n | = 1, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа a_n, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированному базису {e_n}, имеют вид

a_n = (x,e_n).

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система {e_n} была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел {a_n} такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом {e_n} ряд — сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l₂ (теорема Рисса — Фишера).

Примеры

Стандартный базис в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ является ортонормированным.

Множество образует ортонормированый базис в L²([-π, π]

Проекция вектора на ось

Углом между двумя ненулевыми векторами и называется наименьший угол (), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7).

Рис. 7

Под углом между вектором и осью понимают угол между векторами и (рис. 8).

Рис. 8

Пусть – некоторая ось, а – вектор, произвольно расположенный в пространстве. Обозначим и – проекции на ось соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 9). Вектор называется составляющей вектора по оси .

Рис. 9

Проекцией вектора на ось (обозначается пр) называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком «плюс», если , и со знаком «минус», если .

Очевидно, что пр, если вектор образует острый угол с осью ; пр, если этот угол тупой; пр, если .

Если известны координаты точек и на оси: , , то пр.

Нетрудно доказать свойства проекций:

1) Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

2) прпрпр.

3) прпр, .

4) пр, где – угол между вектором и осью.

Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением состпр.

Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .