Ангем.Шпоры.А-фак / Shpory_Angem_6_7_8_9_10_11

Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными).

Так, на рис. 16 тройка , ,  – правая, а тройка , ,  – левая (из конца вектора  кратчайший поворот от  к  виден по часовой стрелке).Рис. 16

Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается  или и определяется следующим образом: 

1)     где  – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;

2)     , – этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;

3)     векторы , ,  образуют правую тройку.

Из условия (1) следует, что модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  как на сторонах (рис 17): , .

 Рис. 17

Из физики известно: если  – сила, приложенная к точке М, то момент  этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов  и : .

Свойства векторного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или ;

4a) .

Заметим, что из определения и свойств следует: 

; ; ; ; ; ; .

Пусть известны координаты векторов  и : , . Тогда 

=[по свойствам 2, 3]

 [на основании замечания]

.

Таким образом,

.                            

Прямая на плоскости

Пусть  – заданная точка на прямой ,  – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть  – произвольная точка прямой  (рис. 20). Тогда , , то есть

.                                       (2.12)

(2.12) – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

 Рис. 20

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.12), получим . Обозначим , уравнение примет вид

.                                                        (2.13)

(2.13) – общее уравнение прямой на плоскости.

Если в уравнении (2.13), , , то, перенеся слагаемое С в правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим

, или . Обозначим , , тогда уравнение примет вид

                                                         (2.14)

(2.14) – уравнение прямой в отрезках, здесь a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 21): из уравнения (2.13) при  получим , а при  .

 Рис. 21

Пусть  – заданная точка на прямой ,  – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой  (рис. 22). Тогда

 , 

.                                                         (2.15)

(2.15) – каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

 Рис. 22

В частности, если прямая  параллельна оси , то ее направляющий вектор , и каноническое уравнение имеет вид , или. Если , то , и каноническое уравнение прямой , или .

Если в уравнении (2.15) величину отношения положить равной   ( – параметр, переменная величина, ):

, , то, выразив  и  из уравнений, получим

, .                                  (2.16)

(2.16) – параметрические уравнения прямой.

Пусть на прямой  заданы две точки  и . Тогда вектор  является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.15), можно записать

.                                          (2.17)

(2.17) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть – заданная точка на прямой ,  – угол наклона прямой к оси ,  (рис. 23). В качестве направляющего вектора прямой  возьмем единичный вектор . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами, поэтому , но . Используя уравнение (2.15), получим , или . Обозначив  ( – угловой коэффициент прямой), получим уравнение

.                                               (2.18)

 Рис. 23

Выразив из (2.18) :  и обозначив , получим

.                                                       (2.19)

(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19)  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые  и  заданы соответственно уравнениями , , где , . Обозначим  угол между прямыми:  (рис. 24). Тогда , .

 Рис. 24

Таким образом,

.                                                  (2.20)

Если , то , а следовательно, , то есть k₁= k₂.

Если , то ,  не определен, , следовательно, , или .

Если прямые  и  заданы соответственно уравнениями

, , где ,  – нормальные векторы прямых, то, или .

Если , то , следовательно, .

Если , , то есть .

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая  на плоскости задана уравнением  и точка  имеет координаты  (рис. 25).

Обозначим  – основание перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую , ,  – расстояние от точки  до прямой . Тогда , а  – нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или. С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

. Тогда  или

.                                                 (2.21)

Рис. 25

Смешанным,или векторно-скалярным произведением трех_векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: , ,. Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами 

.

Скалярное произведение вектора  на вектор : 

Таким образом,

.                                                (2.11)

Нетрудно показать, что .  

Отложим данные некомпланарные векторы , ,  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

 Рис. 18

По определению скалярного произведения  , где – угол между векторами  и . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , а , где  – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах , ,  (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторы, , образуют правую тройку, то  и, а если левую, то  и .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. 

Необходимость. Пусть векторы , ,  компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию. Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

Билет 10.

Плоскость в пространстве. Различные формы уравнения плоскости. Простейшие задачи.