Ангем.Шпоры.А-фак / Shpory_Angem_19_20_21_22

Билет 19.

Общие уравнения кривой второго порядка. Упрощение уравнения с помощью поворота осей.

Билет 20.

Общее уравнение кривой второго порядка. Упрощение уравнения с помощью переноса начала координат. Центральные кривые.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Для исследования кривых второго порядка, общее уравнение которых имеет вид

, рассматривается произведение .

• Если  , то эллипс;

• Если  , то гипербола;

• Если  , то парабола.

Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты x, y произвольной точки М плоскости в системе координат xOy и координаты x’, y’ в новой системе координат x’O’y’ связаны соотношениями:

.

Центральные кривые второго порядка

 Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол θ с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

Если выполняется условие  то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае (D = 0) все диаметры кривой либо параллельны, либо совпадают.

Координаты центра  определяются системой уравнений:

Решая эту систему относительно x₀ и y₀, получим:

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

где  — координаты относительно новой системы.

Билет 22.

Классификация кривых параболического типа.

Если:

1.  , то общее уравнение  задает кривую параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем: .Обозначим:  имеем:  - канонический вид параболы.

 , то  - кривая параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем: .Обозначим:  - имеем:  - канонический вид параболы.

Билет 21.

Классификация центральных кривых второго порядка.

Центральные кривые второго порядка

         Рассмотрим уравнение кривой второго порядка без члена с произведением х и у 

   (1-25)

Пологая, что А ≠ 0 и С ≠ 0 и дополняя до полных квадратов получим:

Полагая

               (1-26)

имеем:

                 (1-27)

Таким образом точка О'(х₀ , у₀) представляет собой центр симметрии кривой (1-27) (вспомним окружность).

Параллельные осям координат Оx и Оy прямые     у = у₀   и    х = х₀

являются осями симметрии кривой (1-15).

И если предположить, что х₀ = 0 и у₀ = 0, то наше уравнение примет вид:

(1-28)

 Кривая второго порядка (1-28) называется эллипсом (точнее принадлежит эллиптическому типу), если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки.

Т.е.   А▪С > 0                                                                (1-29)

Для определённости предположим А > 0 и С > 0

Возможны три случая:

1)   При Δ › 0 мы имеем действительный эллипс

(1-30)

это каноническое уравнение эллипса

где                                                                                                          (1-31)

         Рис. 1.21. Эллипс

2) При Δ = 0, кривая (1-28) вырождается в точку. Это случай    вырожденного эллипса.

3)   При Δ ‹ 0, кривая (1-28) не имеет действительных точек, и её условно называют мнимым эллипсом.

 Кривая второго порядка (1-28) называется гиперболой (точнее, кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е.           A•С ‹ 0.

Предположим А › 0, тогда С ‹ 0

Возможны три случая:

1)   Δ › 0, имеем гиперболу                                                         (1-32)

 – каноническое уравнение гиперболы,

здесь:      - действительная полуось,       - мнимая полуось.

                                                                        Рис. 1.22. Гипербола

          - асимптоты гиперболы.

2)   Δ = 0, получаем пару пересекающихся прямых (вырождённая гипербола)

3)   Δ ‹ 0, получаем гиперболу

(1-33)

         с полуосями                   и ;

Если а′ = а и b′ = b, то гиперболы (1-32) и (1-33) называются спряжёнными.

         Пример: определить вид и расположение кривой

                                          .

Дополняя до полных квадратов имеем

 откуда

        следовательно, это эллипс с центром в точке

, .