Ангем.Шпоры.А-фак / Shpory_Angem_29_30_2_14

Билет 29.

Свойства линейности определителя (10 штук). Операции над столбцами и строками не меняющие определитель.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

        Каждой квадратной матрице А соответствует число, которое называется ее определителем, или детерминантом, и обозначается |А|, det А, или . Определителем, или детерминантом, n-го порядка служит число, записываемое в виде квадратной таблицы

det А

и равное алгебраической сумме n! произведений вида .

Итак, det А,

где суммирование распространено на все перестановки из чисел 1, 2, ..., n. Здесь  – число инверсий в перестановке . Говорят, что числа  и  образуют инверсию в перестановке , если большее из чисел  и  расположено левее меньшего.

        Например, для n  2

,

для n  3

       Правило вычисления определителя  равносильно правилу треугольников (правилу Саррюса), которое схематически можно записать как

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

       1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

       2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки).

       3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.

Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.

4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.

, откуда  или .

5. Линейность. Если j-й столбец (i-я строка A) определителя det A является линейной комбинацией A λB + μC (A λB + μC) двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель оказывается линейной комбинацией det A  det A(λB + μC)  λdet A(B) + μdet A(C) определителей det A(B) и detA(C). Здесь det A(B) (det A(C)) – определитель, полученный из определителя det А заменой в нем j-го столбца A на столбец В (столбец С ).

6. Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.

7. Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю.

Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства.

8. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).

Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).

9. Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка n A  и  В , i, j =  равен сумме всех различных определителей порядкаn, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.

Доказательство следует из свойства линейности определителя.

10. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ)  det Adet B.

Билет 12.

Прямая в пространстве. Общие задания. Канонические и параметрические формы уравнения прямой. Переход от одного задания к другому.

Прямая в пространстве

 Способы задания прямой    Векторно-параметрическое уравнение прямой 

где  - фиксированная точка, лежащая на прямой;  - направляющий вектор.

     В координатах (параметрические уравнения):

    Канонические уравнения прямой 

     Уравнения прямой по двум точкам 

     Прямая как линия пересечения двух плоскостей 

при условии, что не имеют места равенства

     Направляющий вектор такой прямой

где

Взаимное расположение двух прямых 

     Если прямые заданы уравнениями  и  то они:

     1) параллельны (но не совпадают) 

     2) совпадают 

     3) пересекаются 

     4) скрещиваются 

     Если  то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):

     1)    

     2)    

     3)    

     4)    

     Расстояние между двумя параллельными прямыми 

     В координатах

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 

     В координатах

     Угол между двумя прямыми 

     Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых 

 или 

     Взаимное расположение прямой и плоскости 

     Плоскость  и прямая 

     1) пересекаются 

     2) прямая лежит в плоскости 

     3) параллельны 

     Если  то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

     1) 

     2) 

     3) 

 Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости 

 или 

     Угол между прямой и плоскостью 

     Точка пересечения прямой с плоскостью 

     В координатах:

где

     Уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно к плоскости  

     В координатах:

Билет 30.

Дополнительный минор элемента определителя и алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по столбцу (строке).

Дополнительный минор  квадратной матрицы  порядка  () — определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием  строк и  столбцов.

Иногда дополнительным минором называют не определитель, а саму матрицу, полученную из исходной вышеуказанным способом.

Дополнительный минор произвольного элемента  квадратной матрицы  — дополнительный минор . Каждый элемент квадратной матрицы имеет свой дополнительный минор.

Имеет место разложение по строке:

Определитель матрицы равен ,    где  — дополнительный минор к элементу .

Алгебраическим дополнением элемента  матрицы  называется число

,

где  — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы  путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Свойства

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):

Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что

 при  и .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,

• транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,

• разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают создание этой теоремы в 1772 году^[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Формулировка

Для начала, введём несколько определений.

Пусть A = (a_ij) — матрица размера , и пусть выбраны любые k строк матрицы A с номерами  и любые k столбцов с номерами .

Определитель матрицы, получаемой из A вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором k-го порядка, расположенным в строках с номерами  и столбцах с номерами . Он обозначается следующим образом:

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору :

где  и  — номера невыбранных строк и стобцов.

Алгебраическое дополнение минора  определяется следующим образом:

где , .

Справедливо следующее утверждение.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать k столбцов из n, то есть биномиальному коэффициенту .

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть A = (a_ij) — квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

где A_ij — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j. A_ij также называют алгебраическим дополнением к элементу a_ij.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать i-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. 

Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матри- цы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.

Билет 2

2.Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

Выражение видаλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n называется линейной комбинацией векторов A₁, A₂,...,A_n с коэффициентами λ_1, λ₂,...,λ_n.

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Геометрический смысл - 1) Векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых). 2) Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).

Пример

В векторы (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) линейно независимы, так как уравнение

имеет только одно, тривиальное, решение. Векторы (1,0,0) и (5,0,0) являются линейно зависимыми, так как

а значит