27. Основы финансовых вычислений. Эквивалентность процентных ставок различного типа. Эффективная процентная ставка. Области применения простых процентов. Учёт инфляции в принятии финансовых решений.
Эквивалентность ставок. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях даёт одинаковые финансовые результаты.
Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок. Для нахождения эквивалентных ставок используют уравнение эквивалентности, которое составляется на основе равенства двух выражений для расчёта наращенной суммы, при использовании различных процентных ставок. Например, для нахождения зависимости между простыми и сложными процентными ставками.
Rn=P*(1+nrп) FVn=P*(1+rс)n P*(1+nrп)=P*(1+rс)n
Зависимость между простыми процентными ставками и сложными с внутри годовым начислением.
Rn=P(1+nrn) FVn=P(1+rc/m)nm P(1+nrn)= P(1+rc/m)nm
Зависимость между ставками сложного процента при однократном начислении и внутригодовом начислении.
FVn=P(1+re)n FVn=P(1+ rн/m)nm P(1+re)n= P(1+ rн/m)nm
где re – эффективная процентная ставка
rн – номинальная процентная ставка
Эффективную ставку сложных процентов полезно знать что бы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные ставки в случае когда используется различные интервалы начисления.
Именно ставка re является критерием эффективности финансовой сделки, и может быть использована для сопоставлений.
В подавляющем большинстве случаев в проспектах речь идёт о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной. Области применения простых процентов. Рассмотрим часто встречающиеся ситуации где активно применяется схема простых процентов. 1) краткосрочный кредит
Rn=P*(1+nr)
где t – продолжительность финансовой операции, дней (день выдачи и день погашения кредита считается за один день);
T – количество дней в году.
r/T – дневная (промежуточная процентная ставка).
Размер промежуточной процентной ставки может быть различной.
1. точный процент – определяется исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (89-92), в месяце (28-31)
2. обыкновенный процент – определяется из приближённого числа дней в году (360), квартале (90) и месяце (30).
При определении продолжительности финансовой операции так же возможны два варианта:
1) принимается в расчёт точное число дней пользования кредита.
2) принимается в расчёт приблизительное число дней пользования кредитом (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).
В том случае, когда в расчётах используется точный процент берётся и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может применяться как точное, так и приближённое число дней пользования кредита.
2) учет векселя банком. Владелец векселя на сумму FV предъявил его банку, который соглашается учесть его (купить) удерживая в свою пользу часть вексельной суммы (дисконт). В этом случае банк предлагает владельцу сумму PV, исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Чем выше значение ставки дисконтирования, тем большую сумму удержит банк в свою пользу.
d = (FV – PV) / FV
FV = PV + FV• d•n PV = FV (1 - d•n) PV = FV (1 - d• (t/T)),
где FV – сумма по векселю PV – предлагаемая банком сумма в обмен на вексель D – годовая учетная ставка в долях t – продолжительность финансовой операции в днях (число дней оставшихся до погашения векселя с момента его учета банком) T – количество дней в году (360)
Учет инфляции в принятии финансовых решений
Пусть FVα – это сумма, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы FV при отсутствии инфляции.
1) Темп инфляции α=∆FV/FV, где ∆FV=FVα- FV.
2) Уровень инфляции =∆FV/FV*100%
3) Индекс инфляции I=1+α, показывает, во сколько раз ∆FV превышает FV. (FVα=FV+∆FV=FV+ FVα= FV(1+α)).
Пусть α – это годовой темп инфляции через 1год сумма FV1 будет больше FV в (1+α)раз, через 2 года FV2 будет больше FV1 в (1+α)раз, т.е больше суммы FV в (1+ α)2 раз. Через n лет сумма FVn вырастет по отношению к сумме FV в (1+ α)n раз. Отсюда видно, что инфляционный рост суммы FV при годовом темпе роста α – это тоже самое, что наращение FV по сложной годовой ставке процента α.
1. Если α – годовой темп инфляции, то за период n лет индекс инфляции составит In=(1+α)n .
2. Если n=w+f, где w- целое число лет, f – оставшаяся не целая часть года, то In=(1+α)w *(1+α* f). В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции αm , за короткий(менее 1года) интервал, тогда за период, составляющий m таких интервалов, Im =(1+α)m .
Если в обычном случае первоначальная сумма Р при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму FV, то в условиях инфляции она должна превратится в сумму FVα , что требует уже иной процентной ставки rα - ставка процентов, учитывающая инфляцию. Если известны процент.ставка, обеспечивающая желаемую доходность(r) и уровень инфляции в течении рассматриваемого периода, можно определить процентн.ставку , компенсирующую потерю от инфляции (rα ).
1)Для прост процентных ставок: FVα=Р*(1+ rα * n), FVα=Р*(1+ r * n)* I, Р*(1+ r* n)= Р*(1+ r * n)* I, rα = ((1+ r* n)* I-1)/ n.
2)В случае сложных процентных ставок: FVα=Р*(1+ rα )n, FVα=Р*(1+ r )n * I, Р*(1+ rα )n = Р*(1+ r )n * I,
rα = (1+ r)*(√I)n -1.
3) Для сложных процентов с внутригодовым начислением: FVα=Р*(1+ rα /m)nm , FVα=Р*(1+ r/m)nm * I, Р*(1+ rα /m)nm = Р*(1+ r/m)nm * I, rα = m[(1+ r/m)* (√I)nm -1 ]