Все лекции по аналитический геометрии
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b2 |
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= − |
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b |
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b |
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−1 + |
1 |
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= C , A B |
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( A B < 0) ( C ≠ 0 ) ( |
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C = 0 ). |
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1) C = 0 → Ax2 + By2 = 0 ~ , |
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2) C ≠ 0 → Ax2 + By2 = C ~ |
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a2 |
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A |
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§14.
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0 , dist(F , d ) = p > 0 . |
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3 |
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+ y2 = x2 + rx + |
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, 0) d : |
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§15. ! " #
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Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 , A2 + B2 + C 2 ≠ 0
1- ! – , (x, y)
,
, , , , ,
! .
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= x − x0 |
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x = x0 |
+ x |
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y = y0 |
+ y |
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' = (0,1) ' = (cos(π + α ), sin( |
π + α )) = (− sin α , cosα ) , |
c |
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2 |
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2 |
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xf = xe1 '+ ye2 ' = x ' e1 '+ y ' e2 ' ,
x |
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= x ' |
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x 'sin α + y 'cosα |
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x = x 'cosα − y 'sin α |
- α . |
||||||
|
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= x 'sin α + y 'cosα |
||||||
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y |
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|
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' : |
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|
||||||
x ' = x cosα + y sin α |
- −α |
|
|
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= −x sin α + y cosα |
|
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y ' |
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# * |
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Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 |
, A2 + B2 + C 2 |
≠ 0 . |
(15.1) |
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A,B,C - 1 - , |
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F |
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a)( , )).
b)( , ).
( , δ ,
, . 4 ) ! :
δ> 0 →
δ< 0 →
δ= 0 →
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I.δ > 0 .
1) |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 |
- , |
|
a2 |
b2 |
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|
|
|
|
2)x2 + y2 = 0 - (0, 0) , a2 b2
3) |
x2 |
+ |
y2 |
= −1 |
- ( ). |
|
a2 |
b2 |
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|
|
|
|
33
II. δ < 0 .
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
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|
x |
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y |
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= 1 |
|
|
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2 |
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b |
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b2 |
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|
|
|
|
|
|
|
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2) |
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= q2 |
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3) |
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= 0 |
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= −q2 - |
|
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" 90o x y . |
|
%. I-(3) III-(4) ( ) , |
|
. |
|
( . |
|
' . (15.1) |
|
(x, y) ,
.
§16.
(15.1).
/. " xy (β = 0) , - .
•0 , (15.1) (A), )) !
- xy = 0 ( 2B = 0 )
•0 , (15.1) (B),
- ( x2 ,
x, y2 , y, x, x0 , )) !
, y, y0 , )) ! ).
|
2 |
+ β y |
2 |
+ γ = 0 |
|
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α x |
|
|
|
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α x2 |
+ ε y = 0 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
β y2 + δ x = |
0 |
I II III |
|||||
|
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( A) + (!) α x2 |
+ν = 0 |
|
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β y2 +ν = 0 |
|
|
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α x2 + β y2 = 0 |
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||||||
|
|||||||
x2 |
= 0 y2 = 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
", (15.1)
(5), – (0). ' .
" B ≠ 0 , :
(5). " (15.1):
A(x 'cosϕ − y 'sin ϕ)2 + 2B(x 'cosϕ − y 'sin ϕ)(x 'sin ϕ + y 'cosϕ) +
+C(x 'sin ϕ + y 'cosϕ)2 + 2D(x 'cosϕ − y 'sin ϕ) + 2E(x 'sin ϕ + y 'cosϕ) + F = 0
34
- - )) ! B ' x ' y ' :
−2 A cosϕ sin ϕ + 2B cos2 ϕ − 2B sin2 ϕ + 2C sin ϕ cosϕ = 0 B sin2 ϕ − (C − A) sin ϕ cosϕ − B cos2 ϕ = 0
Btg 2ϕ − (C − A)tgϕ − B = 0 - tgϕ , - :
(tgϕ) = |
C − A ± (C − A)2 + 4B2 |
|
|
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1,2 |
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2B |
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|
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2 ϕ , (15.1) - |
|
||||||||||||||||||||||
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(A), , 2B ' = 0 . |
||||||||||||||||||||||
(0). " (5), : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
α x2 + β y2 + δ x + ε y + γ = 0 |
(16.1) |
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||
1) " α ≠ 0 , |
|
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|
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(16.1) |
|
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|
) + β y2 |
+ ε y + γ − |
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|
~ |
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δ |
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+ ε y |
+ γ |
= 0 ~ |
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|
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4α |
2 |
4α |
2α |
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|
|
|
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|
|
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~ α x + β y2 + ε y + γ = 0 , |
|
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= x + |
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x = x − |
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2α |
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|
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|
|
|
|
|
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2) " α = 0 , δ ≠ 0 , : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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(16.1) |
|
~ |
β y2 + δ x + γ = 0 |
|
~ |
β y2 + δ (x + γ ) = 0 |
~ |
β y2 |
+ δ x = 0 , |
|
|
|
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|
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|
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= x + |
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|
|
|
|
|
|
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5 β = 0 , ε ≠ 0 , y2 )) !. |
|
|
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3) α = 0 δ = 0 , (16.1) |
~ |
|
β y2 + γ = 0 - . |
|
|
|
|
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§17. #
"
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' :
Ax2 |
+ By2 |
+ Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Jz + |
K = 0 |
|
|
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. ). |
|
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, ): |
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|
|
|
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a |
x2 + a |
22 |
y2 + a |
z2 + 2a |
xy + 2a |
xz + 2a |
23 |
yz + 2b x + 2b y + 2b z + c = 0 . |
(17.1) |
||
11 |
|
33 |
12 |
13 |
|
1 |
2 |
3 |
|
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- . 0 , |
)) ! aij . |
||||||||||
% x, y, z - & . |
|
|
'. 4 ,
(17.1).
+ ,
)) ! - a12 , a13 , a23 .
35
% , - -
. :
α x2 + α |
2 |
y2 + α |
3 |
z2 + β x + β |
2 |
y + β |
z + γ = 0 , |
α |
k |
β |
k |
= 0 k = 1, 2, 3... |
(17.2) |
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
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" , βk = 0 , γ = 0 . |
|
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(x ', y ', z ') (x, y, z) . |
|
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(17.2) ) !. ' |
|
|||||||||||||||
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|
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4 ) !: |
|
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1. |
2 αk |
≠ 0 (>0), |
|
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( ). |
|
|
|
|
|
|
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2. |
2 αk |
≠ 0 |
, |
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|
( , ). |
|
|
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3. |
2 |
αk |
= 0 , |
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( , !). |
|
|
|
|
|
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|
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% ( , , . .).
1 ", " .
& (
2 ,
. " 1: .
|
x2 |
+ |
y2 |
+ |
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= 1 |
|
a2 |
b2 |
c2 |
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|
|
|
|
z
c
a
x
" 2:
|
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 1 |
|
a2 |
b2 |
c2 |
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|
|
|
|
a, b c – .
" y = h ( |
h |
< b) |
: |
||||||||||||
|
x2 |
+ |
h2 |
+ |
z2 |
|
= 1 ~ |
|
x2 |
+ |
z2 |
= (1 − |
h2 |
) , |
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
a2 |
c2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
2 a, b, c ≠ 0 ,
b ( . a, b, c ).
y2 ,
.
2 a = b = c , ) : x2 + y2 + z2 = a2 ,
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 0 - , |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= −1 - . |
|
a2 |
b2 |
c2 |
a2 |
b2 |
c2 |
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|
|
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" ) z = h : |
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x2 |
+ |
y2 |
= (1 + |
h2 |
) , - |
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, Oz).
36
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y2 |
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|
= −1 |
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b2 |
c2 |
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2 −1 |
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c |
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+ a = b |
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