20.Правила побудови двоїстих моделей оптимізаційних задач.

Для побудови ДЗ необхідно звести пряму задачу до стандартного виду. Вважають, що ЗЛП подана у станд. вигляді, якщо для відшукання маx. Знач-я цільової функції всі нерівності її системи обмеж-ь приведені до виду «≤», а для задачі на відшукання мін. значення - до виду «≥». Якщо пряма ЗЛП подана в станд. вигляді, то ДЗ утворюється за такими правилами: 1.Кожному обмеж-ю прямої задачі відповід двоїста змінна. Кіл-ь змінних ДЗ=кіл-ті обмеж-ь прямої задачі. 2.Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеж-я ДЗ, причому кіл-ть обмежень ДЗ=кіл-ті змінних прямої задачі. 3.Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук max значення, то цільова функція ДЗ - на визначення min, і навпаки. 4.Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції ДЗ є праві частини обмежень прямої задачі. 5.Праві частини системи обмежень ДЗ є коефіцієнтами при змінних у цільовій функції прямої задачі. 6. Матриця, що склад-я з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, є транспонованою матрицею до матриці із коефіцієнтів у системі обмежень ДЗ. Пряма і ДЗ утвор-ь двоїсту пару або пару спряжених задач. Всі двоїсті пари поділ-я на симетричні та несиметричні. У симетричних задачах обмеж-я прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень. У неси метр-их задачах деякі обмеж-я прямої задачі можуть бути рівняннями, а ДЗ - лише нерівностями. У цьому разі відповідні рівнянням змінні ДЗ можуть набувати будь-яких значень, не обмежених знаком.

21.Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.

І т-ма дво-ті: Якщо пряма задача має оптим розв’язок, то і двоїста задача має оптим розв’язок і навпаки. Якщо пряма задача не має оптим розв’язку, то і двоїста задача не має оптим розв’язку. Якщо X⁰ – оптим розв’язок прямої задачі, а Y⁰ – оптим розв’язок двоїстої задачі, то справедлива слідуюча рівність:.Z(X⁰)=F(Y⁰). Екон зміст I т-ми дво-ті: Максим прибуток (Fmax) підприємство отримує при вир-ві продукції за оптим планом X⁰=(x₁,x₂,...x_n), однак ту саму суму коштів (Zmin=Fmax) воно може отримати реалізуючи ресурси за оптимальними цінами Y⁰=(y₁,y₂,…y_n). За умов використання інших планів X≠X⁰,Y≠Y⁰, виходячи з основної нерівності теорії двоїстості, доходи від реалізації продукції завжди менші ніж витрати на її вир-во. Якщо пряма задача має оптим розвязок і він знайдений за допомогою симплекс методу, то оптим розвязок двоїстої задачі можна знайти не розвязуючи її використавши слідуючу формулу: Y⁰=С_баз*D^-1, де С_баз – це значення стовпчика С_баз в останній симплекс таблиці. D^-1-це матриця, яка знаходиться в останній симплекс таблиці під одиничною матрицею 1ої симплекс таблиці. II т-ма дво-ті: Для того, щоб плани X* та Y* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості: Наслідок. Якщо в результаті підстановки оптим плану однієї із задач (прямої чи двоїстої) в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідна і-та компонента оптим плану спряженої задачі дорівнює 0. Якщо і-та компонента оптим плану однієї із задач додатна, то відповідне і-те обмеження спряженої задачі виконується для оптим плану як рівність. Екон зміст II т-ми дво-ті: Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптим планом Х*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг b_i, то відповідна оцінка такого ресурсу y^*_i (компонента оптим плану двоїстої задачі) буде дорівнювати 0, тобто такий ресурс за даних умов для вир-ва не є «цінним». Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові b_i, тобто його використано повністю, то він є «цінним» для виробництва, і його оцінка y^*_i буде строго більшою від 0. У разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на вир-во одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну с_j, вир-во такого виду продукції є недоцільним, і в оптим плані прямої задачі обсяг такої продукції x^*_j дорівнює 0. Якщо витрати на вир-во j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції с_j, то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптим план прямої задачі x^*_j>0. III т-ма двоїстості: Компоненти оптим плану двоїстої задачі є частоковими похідними від ф-ції Z по відповідним правим частинам . Використовуючи ІІІ т-му дво-ті, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової ф-ції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова ф-ція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу .