Модифицированный метод Эйлера
В
данном методе вычисление
состоит из двух этапов:
,
. (5.7)
Данная схема называется также методом предиктор-корректор. Это английское название, означающее «предсказать-исправить». Действительно, на первом этапе приближенное значение предсказывается с первым порядком точности, а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.
Решение
Дано: f=(x+1)Sin(x)-y-xCos(x), φ=0, u(x)=xSin(x), [0,π]
u(0)=0*sin0=0≡ φ.
Решим с помощью модифицированного метода Эйлера, вычисления оформим в виде таблицы: при N=20
|
|
|
|
u( ) |
| -u( )| |
0 |
0 |
--- |
0 |
0 |
0 |
1 |
0,15708 |
0 |
0,002031 |
0,024573 |
0,022542 |
2 |
0,314159 |
0,005774 |
0,011878 |
0,097081 |
0,085203 |
3 |
0,471239 |
0,026869 |
0,036745 |
0,213938 |
0,177193 |
4 |
0,628319 |
0,069937 |
0,083095 |
0,369316 |
0,286221 |
5 |
0,785398 |
0,140537 |
0,156314 |
0,55536 |
0,399046 |
6 |
0,942478 |
0,242833 |
0,260418 |
0,762481 |
0,502063 |
7 |
1,099557 |
0,379343 |
0,397807 |
0,979713 |
0,581906 |
8 |
1,256637 |
0,550759 |
0,569089 |
1,195133 |
0,626044 |
9 |
1,413717 |
0,755822 |
0,772963 |
1,396311 |
0,623349 |
10 |
1,570796 |
0,991285 |
1,006178 |
1,570796 |
0,564618 |
11 |
1,727876 |
1,251948 |
1,263574 |
1,706603 |
0,443029 |
12 |
1,884956 |
1,530769 |
1,538187 |
1,792699 |
0,254512 |
13 |
2,042035 |
1,819054 |
1,821444 |
1,819467 |
0,001977 |
14 |
2,199115 |
2,106715 |
2,103412 |
1,779121 |
0,32429 |
15 |
2,356194 |
2,382595 |
2,373118 |
1,666081 |
0,707037 |
16 |
2,513274 |
2,634836 |
2,61892 |
1,477265 |
1,141654 |
17 |
2,670354 |
2,851305 |
2,828913 |
1,212315 |
1,616598 |
18 |
2,827433 |
3,020031 |
2,991369 |
0,873725 |
2,117644 |
19 |
2,984513 |
3,129665 |
3,095186 |
0,466881 |
2,628305 |
20 |
3,141593 |
3,16994 |
3,130337 |
3,85E-16 |
3,130337 |
Расчетные формулы:
Аналогично при N=10
|
|
|
|
u( ) |
| -u( )| |
0 |
0 |
--- |
0 |
0 |
0 |
1 |
0,314159 |
0 |
0,016857 |
0,097081 |
0,080224 |
2 |
0,628319 |
0,045275 |
0,094449 |
0,369316 |
0,274868 |
3 |
0,942478 |
0,205765 |
0,277618 |
0,762481 |
0,484863 |
4 |
1,256637 |
0,510066 |
0,589846 |
1,195133 |
0,605287 |
5 |
1,570796 |
0,956791 |
1,026846 |
1,570796 |
0,543951 |
6 |
1,884956 |
1,511892 |
1,554366 |
1,792699 |
0,238333 |
7 |
2,199115 |
2,111016 |
2,110679 |
1,779121 |
0,331558 |
8 |
2,513274 |
2,666762 |
2,613591 |
1,477265 |
1,136326 |
9 |
2,827433 |
3,080036 |
2,971182 |
0,873725 |
2,097457 |
10 |
3,141593 |
3,254117 |
3,094974 |
3,85E-16 |
3,094974 |
Вывод: для данной функции наиболее точным оказался модифицированного метода Эйлера при N=10, поэтому решение выглядит следующим образом:
|
0 |
0,31416 |
0,62832 |
0,94248 |
1,25664 |
1,5708 |
1,88496 |
2,19912 |
2,51327 |
2,82743 |
3,14159 |
|
0 |
0,01686 |
0,09445 |
0,27762 |
0,58985 |
1,02685 |
1,55437 |
2,1107 |
2,61359 |
2,97118 |
3,09497 |