Свойства коэффициента эксцесса

• .

• Пусть   — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть  . Тогда

,

где   — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

6.1 Биноминальный закон распределения и его базовые характеритики

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из   независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна  .

Свойства биномиального распределения

• Пусть   и  . Тогда  .

• Пусть   и  . Тогда  .

6.2 Распределение Пуассона и его базовые характеристики

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть  . Тогда

.

• Пусть  , и  . Тогда условное распределение   при условии, что  , биномиально. Более точно:

.

6.3 Геометрическое распределение и его базовые характеристики

Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Свойства геометрического распределения

• Из всех дискретных распределений с фиксированным средним   геометрическое распределение   является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

• Если   независимы и  , то

.

• Геометрическое распределение бесконечно делимо.

7.3 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИЫ.

Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию g_i из U сопоставим несколько чисел: ξ _i1 , ξ _i2 , ξ _i3 , ... ξ _ik  или вектор ξ_i. Потребуем, чтобы для любых х_j ( -∞ < х_j <+∞ ) , j = 1, 2 ... k , множество А тех g , для которых ξ _j < х_j ( j = 1, 2, ... k) , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ ξ ₁ < x₁ ,  ξ ₂ < x₂ , ...  ξ _k < x_k } = P(A) = F( x₁, x₂,  ... x_k ). Тогда ξ называется многомерной случайной величиной, или случайным вектором, а F( x₁, x₂,  ... x_k ) еефункцией распределения.

Примеры: 1 .   Координаты молекулы, находящейся в сосуде с газом, (x,y,z) или компоненты ее скорости (Vx,Vy,Vz) - можно рассматривать как трехмерные случайные величины 2 .   В задаче "о встрече" время прихода одного участника (х₁) и другого (х₂), если условия их прихода известны (скажем - любой момент в течение заданного часа), пару чисел х₁, х₂ можно рассматривать как двумерную случайную величину 3 .   Результат эксперимента, состоящего в измерении тока через разрядную трубку при десяти различных напряжениях, поданных на трубку, можно рассматривать как десятимерную случайную величину

Свойства многомерной функции распределения: 1 .   F( x₁, x₂,  ... -∞ ... x_k ) = 0; 2 .   F( x₁, x₂,  ... x_k-1, ∞) = F( x₁, x₂,  ... x_k-1 ), т.е. если один из аргументов принимает значение ∞, то размерность случайной величины уменьшается на 1; 3 .   F( x₁, x₂,  ... x_k ) не убывающая функция любого аргумента.

7.5. Основной способ описания дискретной многомерной случайной величины