7) Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей.

Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности, если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события вычисляется по формуле

называемой классическим определением вероятности.

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

(2.1)

Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой маши . Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет

P(А₁+А₂) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

8) Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. Записывается P(A|B) и читается «вероятность A при условии B», или «вероятность A при данном B».

 Теорема умножения вероятностей независимых событий

     Теорема умножения вероятностей зависимых событий

9) Формула полной вероятности.

редположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) Н₁, H₂, ..., H_n. Пусть также имеется некоторое событие А и известны Р(Н_i) - вероятность гипотезы, P(A!H_i) - условная вероятность события А при этой гипотезе). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества? Решение: обозначим событие А={выбрана деталь отличного качества}, H_i={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда

По условию задачи P(A!H₁) = P(A!H₃) = 0,9, P(A!H₂)=0,7 По формуле полной вероятности находим искомую вероятность:

10) Испытания Бернулли. Теорема Бернулли.

независимые испытания с двумя исходами каждое ("успехом" и "неудачей") и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей.

Пусть р - вероятность успеха и - вероятность неудачи, и пусть 1 обозначает наступление успеха, а 0 - наступление неудачи. Тогда вероятность определенного чередования успехов и неудач, напр.,

равна

где - число успехов в рассматриваемом ряду писпытаний. Со схемой Б. и. связаны многие распространенные распределения вероятностей.

, где .

11) Функции распределения. Их свойства. Определение

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:

.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины называют функцию , значение которой в точке равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .