Контрольные вопросы

1. Сформулируйте сущность и укажите основные области применения теории игр.

2. Приведите классификацию задач и методов теории игр.

3. В чем состоят особенности антагонистических матричных игр?

4. Разберите особенности игр с седловой точкой.

5. Охарактеризуйте чистые и смешанные стратегии в теории игр.

6. Докажите эквивалентность матричной игры и задачи линейного программирования

Тема 2. Принятие решений в условиях неопределенности с применением математических игровых моделей

Цель работы – на основе заданных примеров научиться решать задачи принятия решений в условиях неопределенности с применением математических игровых моделей

Теоретические сведения

Большинство процессов управления сложными производственными процессами характеризуется неопределенностью, для которой весьма сложно найти законы распределения и другие вероятностные характеристики. В таких ситуациях применяются математические игровые модели, в которых один игрок активен и преследует определенную цель, а другой игрок пассивен и сознательно не противодействует планам активного игрока. В игре такого типа пассивным игроком может выступать «природа», т.е. совокупность внешних условий, в которых активный игрок принимает решение.

Принятие решений в условиях частичной неопределенности рассматривается как случай при известном распределении вероятностей состояний «природы». В таких случаях для определения наилучших решений рекомендуется применять несколько критериев эффективности, примеры которых приведены в таблице 1.

Таблица критериев эффективности

№	Показатель	Формула	Название
1	Наибольшая осторожность	Eg=max min eij i j	Критерий гарантированного результата
2	Наименьшая осторожность	Eo=max max eij i j	Критерий оптимизма
3	Крайняя осторожность	Ep=min min eij i j	Критерий пессимизма
4	Минимальный риск	Erc=min max rij i j	Критерий Сэвиджа
5	Компромисс в решении	Eig=maxi {minjeij+(1-k)*max eij} или Eig=mini {k max rij+(1-k)min rij}, при i≤ i≤m; 1≤ j≤n; 0≤k≤1. k – коэффициент оптимизма	Критерий Гурвица Критерий Гурвица относительно матрицы рисков
6	Принцип недостаточного основания	EL=maxi{1/n*∑j eij}	Критерий Лапласа

Пример 1. Предприятие готовится к переходу на новые виды продукции, улучшенного качества, при этом возможны 4 решения (Str₁, Str ₂, Str ₃, Str ₄) , каждому из которых соответствует определенный вид выпускаемой продукции или их сочетание. Результаты принятия решений существенно зависят от неопределенных внешних условий (характеристик социально-экономической ситуации, например, макроэкономических факторов, структуры спроса на новую продукцию). Представим три типовых вариантов состояний внешней среды: П₁, П₂, П₃. Выигрыш, характеризующий относительную величину результата (доходы, прибыль и т.п.). соответствующих каждой паре сочетаний решений Str и состояний внешней среды П, представлен в таблице 2.

Таблица 2.

Виды решений	Варианты внешней среды
	П1	П2	П3
Str 1	0,25	0,35	0,20	0,25
Str 2	0,75	0,20	0,30	0,20
Str 3	0,35	0,80	0,10	0,10
Str 4	0,90	0,20	0,30	0,20

Нужно найти оптимальную стратегию Str_i по критериям: критерий гарантированного результата, критерий оптимизма, критерий пессимизма, критерий Сэвиджа, критерий Лапласа и критерий Гурвица.

Пример 2. Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо закупить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50).

Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, cоставляет 21.9 тыс.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс. руб., эксплуатационные расходы - 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5 тыс.руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска.

Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний спроса S = (0,10,20,30,40,50).

Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то можно рассчитать элементы матрицы полезности:

W_ij=(21,9 - 3,6)×min(X_i, S_j) – 4,775X_i - 25,5

Например, W₁₁ = -(4.775* 20+25.5) = -121, W₁₂ = (21.9-3.6)* 10-(4.775* 20+25.5) = 62, W₁₃ = (21.9-3.6) * 20-(4.775ґ20+25.5) = 245, W₁₄ = W15 = 245 (спрос останется неудовлетворенным).

Задание. Вычислите матрицу полезности и найдите оптимальную стратегию активного игрока в игре с заданными вероятностями состояний «природы» P = (0.01, 0.09, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1).