21. Вывод уравнения теплопроводности
,
где
-
вектор теплового потока, который
направлен в сторону противоположную
температуру.
В некотором теле
выделим произвольный объем
ограниченный замкнутой поверхностью
,
через которую осуществляется тепловое
взаимодействие выделенного объема с
окружающей средой – остальной части
тела.
Количество тепла, подведенное к телу через поверхность по средствам теплопроводности и полученные за счет действия внутренних источников (стоков) тепла = изменению внутренней энергии выделенного объема.
,
-
тепло полученное путем теплопроводности,
- внутренней теплопроводности.
Сделаем два предположения:
1. Изменение размеров тела вызванное тепловым расширением много меньше размеров тела.
2. Макроскопические частицы тела неподвижны друг относительно друга.
Количество тепла
поступившего через элемент площади
,
за время
равное:
,
полное поступление тепла через
поверхность
=:
.
Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса
, перейдем от объемного интеграла к
проекции
.
Для определение тепла поступившего за
счет внутреннего источника введем
функцию плотности тепловых источников:
.
Функция плотности тепловых источников
такая функция, когда за время
в выделенном
поступает тепло:
.
Согласно первому закону термодинамики
изменение внутренней энергии тепла
,
- интегральная теплоемкость всего тепла,
- изменение температур. Изменение
температуры
.
Для того чтобы телу массой
сообщить тепло
необходимо
изменить его внутреннюю энергию
или проинтегрировав по всему объему
можно найти изменение внутренней энергии
тела за время
:
(1).
(2). Прировняем (1) и (2) получим
(3), учитывая, что выделенный объем был
произвольным в (...) в уравнение (3) д/б =0.
В место
из закона Фурье получим уравнение:
(4) –дифференциальное уравнение
теплопроводности. Если предположить,
что теплофизические свойства среды
постоянны, т.е среда в тепловом отношение
однородно придем к такому уравнению:
(5), где
-
коэффициент температуропроводности с
размерностью
.
Аналогичный вид имеет уравнение диффузии,
где вместо
будет коэффициент диффузии, а вместо
,
концентрация. Коэффициент
в отличие коэффициента теплопроводности
характеризующего теплопроводящие
свойства среды характеризует
теплоэнерционые свойства материалов
и является мерой скорости выравнивания
температурного поля. Оператор Лапласа
в правой части (5) характеризует скорость
изменения теплового потока и является
мерой кривизны изотермической поверхности
в некоторой точке. Для этого чтобы найти
температурное поле необходимо знать
начальное распределение температуры,
форму и геометрические размеры тела, а
также закон теплового взаимодействия
поверхности тела с окружающей средой.
Тем самым приходим к постановке краевых
задач для уравнения теплопроводности.
В предельном случае краевой задаче
является задача Коши. Рассматривается
уравнение (5) в неограниченном пространстве
с начальным условием
(6) причем функции
и
ограничены и непрерывны во всем
пространстве. В задаче Коши необходимо
найти ограниченные решения уравнения
(5) удовлетворяющие условию (6).
Граничные условия:
при х=0 , 1-го рода:
,
2-го рода:
к такому граничному условию приходят
когда задан тепловой поток при
,
где
-интенсивность
теплового потока.
;
3-го рода:
,
т.е задан конвективный теплообмен со
средой температура которого
окружающей среды.
- коэффициент теплообмена.