№1Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности непостоянны, более или менее различаются между собой.

Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изу­чаемой совокупности, называют вариантами значений. Недостаточность средней величины для полной характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака.

 

Наличие вариации обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Эти факторы действуют с неодинаковой силой и в разных направлениях. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Задачи статистического изучения вариации:

1) изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности;

2) определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности.

В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых изме­ряется вариация.

Исследование вариаций имеет важное значение. Измерение вариаций необходимо при проведении выборочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т. д.

По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. На их основе разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.

2. Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности (R = Х_max- X_min). Этот показатель дает самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Зависимость от крайних значений признака придает размаху вариации неустойчивый, случайный характер.

Размах вариации не связан с частотами в вариационном ряду. т. е. с характером распределения. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних. Область применения этого показа-геля ограничена достаточно однородными совокупностями.

Для характеристики вариации признака нужно знать не только амплитуду (размах) его значений, но и уметь обобщить отклонения всех этих значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. В качестве такой величины используют среднюю арифметическую. Такие показатели вариации, пак среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. основаны на рассмотрении отклонений значений признака Отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

3.Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

где d - среднее линейное отклонение;

| | - абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической;

f-частота.

Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами. Необходимость использования в формулах среднего линейного отклонения модулей отклонений вариантов от средней вызвана тем, что алгебраическая сумма этих отклонений равна нулю по свойствам средней арифметической. Среднее линей­ное отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.

Дисперсия ( ) - средняя из квадратов отклоне­ний вариантов значений признака от их средней величины:

Или   для не сгруппированных данных,

 для сгруппированных данных.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину не изменяет величину дисперсии:

 

3. Уменьшение всех значений признака в к раз уменьшает дисперсию в k² раз: 

№4Среднее квадратическое отклонение основано на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической. При этом используется способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической, позволяющий обойти трудность, обусловленную равенством нулю их алгебраической суммы. Данный способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим усреднением.

Дисперсия (о*) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

                             

вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Среднее квадратическое отклонение (о) представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько е среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необ­ходимость сравнения вариации различных признаков. При сравнении изменчивости различных при­знаков в совокупности, для оценки интенсивности вариации, для сравнения ее в разных совокупностях ¹ и для разных признаков удобно применять относи - тельные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:

(коэффициент осцилляции);

№5Коэффициент вариации - наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Со­вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному. Коэффициент вариации применяется для сравнения колеблемости разнородных признаков. Коэффициент вариации часто используется для сравнения размеров вариации в совокупностях, отличающихся друг от друга величиной средней (в совокупностях с разными уровнями):

Оценка степени интенсивности вариации возможна только для каждого отдельного признака и совокупности определенного состава. При этом при равенстве коэффициентов вариации для раз­личных признаков или в разных совокупностях вариация в одних случаях может считаться как сильная, а в других - как слабая. Различная сила, интенсивность вариации обусловлены объективны­ми причинами.

№6. . Средний квадрат отклонений, исчисленный от среднего арифметического, всегда будет меньше среднего квадрата отклонений, исчисляемого от любой другой величины:  >  . Величина различия между ними вполне определенная, это квадрат разности между средней и этой условной величиной А.

Дисперсия альтернативного признака, т. е. признака, имеющего два противоположных значения. В таких случаях наличие признака обозначается единицей, а его отсутствие - нулем. Доля единиц, обладающих признаком, обозначается через р, доля остальных единиц - q= 1 - р. Средняя величина альтернативного признака:

Дисперсия альтернативного признака:

Cреднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности, возникающую под влиянием всех факторов. Исчисляется по формуле:

Групповые средние и дисперсии обозначим соответственно х. и о'. Внутригрупповые дисперсии показывают величину вариации, вызванную всеми признаками, кроме признака, положенного в основу группировки.

Межгрупповая дисперсия является мерой вариации признака между группами и характеризует колеблемость групповых средних (Т) около общей средней (Т) (среднее квадратическое отклонение групповых средних от общей средней):

№7 Индекс — это обобщающий относительный показатель, характеризующий изменение уровня общественного явления во времени, по сравнению с программой развития, планом, прогнозом или его соотношение в пространстве.

Наиболее распространена сравнительная характеристика во времени. В этом случае индексы выступают как относительные величины динамики. Индексный метод является также важнейшим аналитическим средством выявления связей между явлениями. При этом применяются уже не отдельные индексы, а их системы. В статистической практике индексы применяются при анализе развития всех отраслей экономики, на всех этапах экономической работы. В условиях рыночной экономики особенно возросла роль индексов цен, доходов населения, фондового рынка и территориальных индексов. лассификацию индексов по следующим признакам:

1. В зависимости от объекта исследования:

• индексы объемных (количественных) показателей (индексы физического объема: товарооборота, продукции, потребления)

• индексы качественных показателей (индексы цен, себестоимости, заработной плата)

К индексам объемных показателей относятся индексы физического объема: товарооборота, продукции, потребления материальных благ и услуг; а также других показателей, имеющих количественный характер: численности работников, посевных площадей и т.п. К индексам качественных показателей относятся индексы: цен, себестоимости продукции, заработной платы, производительности труда, урожайности и т.п.;

2. По степени охвата элементов совокупности:

• индивидуальные индексы (дают сравнительную характеристику отдельных элементов явления)

• общие индексы (характеризуют изменение совокупности элементов или всего явления в целом)

3. В зависимости от методологии исчисления общие индексы подразделяются на:

• агрегатные (агрегатные индексы являются основной формой индексов и строятся как агрегаты путем взвешивания индексируемого показателя с помощью неизменной величины другого, взаимосвязанного с ним показателя).

• средние (являются производными от агрегатных)

4. В зависимости от базы сравнения различают:

• базисные (если при исчислении индексов за несколько периодов времени база сравнения остается постоянной)

• цепные (если база сравнения постоянно меняется)

№8 Индивидуальные индексы

Способы построения индексов зависят от содержания изучаемого явления, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования. В каждом индексе выделяют 3 элемента:

В каждом индексе выделяют 3 элемента:

• индексируемый показатель — это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс

• сравниваемый уровень — это тот уровень, который сравнивают с другим.

• базисный уровень — это тот уровень, с которым производится сравнение.

Для расчета индекса необходимо найти отношение сравниваемого уровня к базисному и выразить его в виде коэффициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в процентах, если база сравнения принимается за 100%. Обычно расчеты индексов производятся в форме коэффициентов с точностью до третьего знака после запятой, т. е. до 0,001, в форме процентов — до десятых долей процента, т.е. до 0,1%.

Для удобства построения индексов используется специальная символика:

• i — символ индексируемого показателя — индекс, характеризующий изменение уровня элемента явления.

• I — с подстрочным индексируемым показателем — для группы элементов или всей совокупности в целом.

• q — количество проданных товаров или произведенной продукции в натуральном выражении

• p — цена за единицу товара

• z — себестоимость единицы продукции

• w — производительность труда

• T — отработанное время или численность работников

• l — средняя заработная плата одного работника

• 0 — базисный период

• 1 — отчетный период

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельного элемента явления. Ценные и базисные индексы

В ходе экономического анализа очень часто явление изучается за ряд последовательных периодов. В таком случае могут быть вычислены два вида индексов ценный и базисный. Ценные характеризуют уровни в отдельных периодах в сравнении с уровнями в соседних периодах. Базисные - характеризуют уровни во всех периодах в сравнении с уровнем одного из них. Для индивидуальных индексов цен, физ. объема и индексов стоимости продукции справедливо следующее правило: произведение промежуточных по периодам ценных индексов дает базисный индекс последнего периода, т.е. отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода: Эти правила можно применять и в отношении общих индексов при условии постоянного соизмерения, т.е. 1) 2)  Сформулированные правила взаимосвязи в полном объеме применимо к агрегатным индексам стоимости. Учитывая требованием увязки индексов в систему, можно также сформулировать общее правило в отношении выбора периода к которому относится соизмеритель (вес). При построении агрегатных индексов качественных показателей количественные показатели принимаются на уровне отчетного периода; при построении индексов количественных показателей - качественные показатели принимаются на уровне базисного периода.

№9 Агрегатная форма общего индекса рассмотрена на примере индексного анализасебестоимости продукции растениеводства:

• общий индекс затрат на производство продукции (общий индекстоварооборота, общий индекс урожайности)

• общий индекс себестоимости продукции (общий индекс цен)

• общий индекс физического объема (индекс, отражающий динамику товарооборота в сопоставимых ценах)

Количество произведенной продукции и затраты на ее производство

Вид продукции	Выработано продукции,тыс.ц базисный период	Выработано продукции,тыс.ц отчетный период	Себестоимость единицы продукции, руб./ц базисный период	Себестоимость единицы продукции, руб./ц отчетный период
Озимые	4.91	4.28	2.19	4.15
Яровые	1.94	1.16	2.12	8.59
Бобы	1.4	2.66	1.6	9.77

а) общий индекс затрат на производство продукции

ΔZ = Σq₁ • z₁ – Σq₀ • z₀

ΔZ = 53.7146 – 17.1057 = 36.6089 тыс.руб.

За счет всех факторов общие затраты возросли на 214.02% или на 36.6089 тыс. руб.

б) общий индекс себестоимости продукции

ΔZ_z = Σq₁ • z₁ – Σq₁ • z₀

ΔZ_z = 53.7146 – 16.0884 = 37.63 тыс. руб.

За счет изменения себестоимости общие затраты возросли на 233.87% или на 37.63 тыс. руб.

в) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)

ΔZ_q = Σq₁ • z₀ – Σq₀ • z₀

ΔZ_q = 16.0884 – 17.1057 = -1.02 тыс.руб.

За счет изменения объема выработанной продукции, общие затраты снизились на 5.95% (100-94,05 или 1-0,9405) или на 1.02 тыс. руб.

37,63-1,02=36,61 тыс.руб.

Покажем взаимосвязь индексов

I  = I_q • I_z = 0.9405 • 3.3387 = 3.1402

Агрегатный индекс физического объема продукции. Обозначим продукцию буквой «g», цену - «p». Если в эти периоды цены на отдельные виды продукции изменялись, то чтобы судить об изменении объема всей продукции влияние фактора изменения цен необходимо исключить. Другими словами, для построения общего индекса физического объема продукции соизмерители для двух периодов следует брать неизменными. Важно заметить, что – стоимость продукции базисного периода, а – стоимость продукции отчетного периода в базисных ценах. Во второй формуле и соответственно стоимость продукции отчетного и базисного периодов в неизменных ценах.

Агрегатный индекс физического объема (реализации) товарооборота. Если взять в качестве соизмерителей неизменные цены отчетного периода, то при оценке абсолютного прироста в этом индексе рост товарной массы определяется изменением количества проданных товаров при неизменных ценах. Агрегатный индекс цен. В качестве соизмерителей нужно брать неизменные объемы товарных масс. Рассуждения с учетом сущности явления приводит к следующей формуле агрегатного индекса цен. Этот индекс характеризует среднее изменение цен на товары, проданные в отчетном году Если брать в качестве соизмерителя , то разность ( ) отражает весьма условную величину: что произошло бы, если товарную массу базисного периода продавать по отчетным ценам

№10 Если нам необходимо выявить изменения цен на различные продукты и товары или количества товаров и продуктов, то необходимо привести определенное количество товаров и продуктов по определенным ценам к общей стоимости. Для этого мы должны соизмерить "вес" каждого элемента (будь то цена или кол-во товара).

При отражении изменения цен на товары в качестве весов будет выступать количество товара. Если же необходимо отразить изменение количества товаров, то в роли "весов" будут выступать цены. Но возникает проблема: на уровне какого периода зафиксировать веса (базисного или отчетного).

Существует два способа расчета индексов цен: индексы цен Пааше и Лайспейреса.