Задача №4

Рассчитать устойчивость и переходной процесс импульсной системы.

Для определения устойчивости и расчета переходной характеристики надо записать передаточную функцию приведенной непрерывной части системы, которая включает непрерывную часть и формирователь импульсов (в импульсной системе) или ЦАП (экстраполятор нулевого порядка) – в цифровой.

- в изображениях Лапласа,

Т – период дискретности.

,

где H(p) – изображение Лапласа переходной функции. Следовательно, можно найти h(t) по H(p) – изображению, а затем найти z-преобразование для функции времени. Можно найти таблицы перехода от H(p) к z-преобразованию, т.е. H(z), не находя h(t).

Например, раскладываем на простые слагаемые:

.

Коэффициенты A, B, C, D – определяются приравниванием числителя и коэффициента К.

.

Найдя передаточную функцию приведенной непрерывной части в z-форме, нужно найти z-передаточную функцию системы в замкнутом состоянии.

,

.

Тогда z-изображение переходной функции равно произведению W_ЗАМ(z) на z-изображение 1-ой ступенчатой функции, т.е. 1(t) x(t)

,

.

По характеристическому уравнению в z-форме можно оценить устойчивость.

.

Все корни z-уравнения по модулю должны быть меньше единицы в устойчивой системе.

Переход оси z-изображения переходной функции к оригиналу h(nT), t=nT – дискретное время, выполняется по обратному преобразованию (g - интегрирование вдоль окружности единичного радиуса r)

.

Найти ординаты h(t) в дискретные моменты можно делением полинома числителя H(z) на полином знаменателя. Конечное значение h[nT]|_h можно определить, используя теорему о пределах:

.

Если система устойчива, предел существует.

Например, для структурной схемы:

; z=e^pT;

.

По таблицам переходим от преобразования Лапласа к z-преобразованию.

.

Обозначим

.

Найдем W_зам:

.

Запишем изображение переходной характеристики:

.

Пусть К=2, Т₁=1с, Т=0,1с.

.

е^-0,1=0,9048, тогда

.

Характеристическое уравнение системы:

.

.

Корни по модулю меньше единицы – система устойчива.

,

.

h[nT] – получаем делением полинома числителя H(z) на полином знаменателя, записав изображение для отрицательных степеней z (т.е. поделив почленно числитель и знаменатель на z²).

.

Результаты деления дают ординаты переходной характеристики в дискретные моменты (n – определяет степень при z)

h	1	2	3	4	…	
h[nT]	0,0096	0,027	0,0436	0,057	...	1

Время счета – дискретное –

Рис. 43

Литература Основная

1. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем : учебник для вузов / под ред. Н. Н. Иващенко – 3-е изд. – Москва : Машиностроение, 1973. – 606 с.

2. Анхимюк, В. Л. Теория автоматического управления : учебное пособие для вузов / В. Л. Анхимюк, О. Ф. Опейко, Н. Н. Михеев. – Минск : Дизайн ПРО, 2000. – 352 с.

3. Анхимюк, В. Л. Теория автоматического управления : учеб. пособие для электротехн. спец. вузов / В. Л. Анхимюк, О. Ф. Опейко, Н. Н. Михеев. – 3-е изд., перераб. и доп. – Минск : Высшая школа, 1979. – 352 с.

4. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – Москва : Наука, 1966. – 992 с.

5. Куропаткин, П. В. Теория автоматического управления : учебное пособие для электротехн. спец. вузов / П. В. Куропаткин. – Москва : Высшая школа, 1973. – 528 с.

6. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления / под общ. ред. Е. А. Санковского. – Минск : Выш. шк., 1973. –

583 с.

7. Теория автоматического управления : учебник для вузов / Л. С. Гольдфарб [и др.] ; под ред. А. В. Нетушила. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Высш. шк., 1983. – 432 с.

8. Теория автоматического управления : учебник для вузов : в 2 ч. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Высш. шк., 1986. – 2 ч.

9. Топчеев, Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования : учеб. пособие для вузов / Ю. И. Топчеев. – Москва : Машиностроение, 1989. – 752 с.