2.Интегральное преобразование случайных функций.

Дана случайная функция X (t) с математическим ожиданием m_x (t) и корреляционной функцией K_x(t, t'). Случайная функция Y (t) связана с X (t) линейным однородным оператором интегрирования:

Y(t) =

Требуется найти характеристики случайной функции Y (t): m_y(t) и K_y(t, t’).

Y(t)= =

По теореме сложения математических ожиданий имеем:

m_y(t) = M[Y(t)] = = =

Итак m_y(t) =

т. е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания.

Найдем корреляционную функцию К_y(t, t'). Для этого перейдем к центрированным случайным функциям:

(t) = X(t) – m_x(t); (t) = Y(t) – m_y(t)

Нетрудно убедиться, что (t) =

По определению корреляционной функции,

K_y(t, t') = M[ (t) (t’)]=

Таким образом, для того чтобы найти корреляционную функцию интеграла от случайной функции, нужно дважды проинтегрировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем — по другому.

3. Задача 3.16

Экзаменационный Билет №30

1.Теорема сложения вероятностей.

Теория сложения вероятностей формируется следующим образом: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A)+P(B)

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде:

Следствие 1. Если события А₁, А₂…, А_n образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Доказательство. Так как события А₁, А₂…, А_n образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие: P(A₁+ A₂ +…+A_n) = 1

P(A₁+ A₂ +…+A_n) = P(A₁)+ P(A₂)+…+ P(A_n) =

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

2.Дифференциальное преобразование случайных функций.

Дана случайная функция X(t) с математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией К_x(t, t'). Случайная функция Y(t) связана со случайной функцией X(t) линейным однородным оператором дифференцирования:

Требуется найти m_y(t) и К_y(t, t’).

Представим производную в виде предела:

 m_y(t) = M[Y(t)] =

т. е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания.

Для определения K_y(t, t’) перейдем к центрированным случайным функциям Y(t) и X(t); очевидно, (t)=

По определению K_y(t, t’) = M[ (t) (t’)] = M[ ] =

 K_y(t, t’) =

Итак, чтобы найти корреляционную функцию производной, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем — по другому.

Если случайная функция X(t) с математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией K_x(t, t') преобразуется линейным однородным оператором L в случайную функцию

Y(t) = L{X(t)};

то для нахождения математического ожидания случайной функции Y(t) нужно применить тот же оператор к математическому ожиданию случайной функции X(t):

m_y(t) = L{m_x(t)}

а для нахождения корреляционной функции нужно дважды применить тот же оператор к корреляционной функции случайной функции X(t), сначала по одному аргументу, затем — по другому: K_y(t, t’) = L­­^(t)­L^(t'){K_x(t, t’)}

Дисперсию Dy (t) можно найти, зная корреляционную функцию:

D_y (t) = K_y(t, t).