П.4 Диаграммы Эйлера-Венна.

Д ля наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).

При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.

В заключение приведем еще одну формулу для подсчета числа элементов в объединении трех множеств (для общего случая их взаимного расположения, показанного на рис.6):

m (АВС) = m (А) + m (В) + m (С) - m (АВ) – m (АС) –

– m (ВС) + m (АВС) (4).

§ 3. Элементы комбинаторики. Соединения без повторений и с повторениями. Правила суммы и произведения.

Комбинаторика – теория соединений – изучает некоторые операции над конечными множествами, как упорядочение множества и разбиение множества, интересуется расположением элементов в множестве, выясняет, сколькими способами можно расположить элементы множества в том или ином порядке. Это приводит к понятиям перестановок, размещений и сочетаний. Основными задачами комбинаторики являются: 1) определение вида соединения; 2) подсчет числа соединений.

П.1 Соединения без повторений

Пусть дано множество М, состоящее из n элементов.

Опр. 4.1.1 Перестановки – всевозможные упорядоченные множества, составленные из всех элементов данного множества. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Р_n и находят по формуле

Р_n= n! (1),

где n!= 123  n, 0!=1 по определению.

Пример 4.1.1. Сколько перестановок можно составить из трех букв а, в, с?

Решение: Р₃=123=6. Действительно: авс, вас, асв, сав, вса, сва.

Пример 4.1.2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «треугольник»?

Решение: Т.к. все буквы в данном слове разные, т.е. нет повторений, то можно воспользоваться формулой (1): Р₁₁=11!=39916800.

Опр. 4.1.2 Размещениями из n по m называются всевозможные упорядоченные подмножества, содержащие m элементов из данных n. Обозначаются и вычисляются по формуле:

(2).

Пример 4.1.3. Сколько можно составить четырехзначных чисел, содержащих различные цифры из 5 цифр.

Решение: Четырехзначное число – это упорядоченная последовательность цифр, т.е. имеем дело с размещениями без повторений: А₅⁴=5432=120. 

Пример 4.1.4. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами может быть составлено расписание на 1 день?

Решение: 

Опр. 4.1.3 Сочетаниями из n по m называются всевозможные подмножества данных n элементов, состоящие из m элементов. Для подсчета их числа используются следующие обозначение и формула:

(3).

Пример 4.1.5. Сколькими способами можно из 7 различных открыток выбрать три?

Решение: Совокупность трех открыток является неупорядоченным подмножеством семи открыток, поэтому имеем дело с сочетаниями: 

П.2 Соединения с повторениями

Опр: 4.2.1 Перестановками с повторениями называются перестановки из n элементов, в каждую из которых входит n₁ элементов а, n₂ элементов b, …, n_k элементов l, где n=n₁+n₂+…+n_k. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 4.2.1 Сколькими способами можно переставить буквы в слове “математика”.

Решение: В слове “математика” есть повторяющиеся буквы: “м” – 2 раза, “а” – 3 раза, “т” – 2 раза, “е” – 1 раз, “и” – 1 раз, “к” – 1 раз. Порядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, так как если переставить местами 2 буквы, то получатся разные слова) и все элементы используются, следовательно, это перестановка с повторениями.

Таким образом, в слове “математика” можно переставить буквы 151200 способами.

Опр 4.2.2 Сочетания из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более m, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 4.2.2 на почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток.

Решение: Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.

.

Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из12 штук 293930 способами.

Опр 4.2.3 Размещениями с повторениями из n элементов по k элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит k необязательно различных элементов из данного множества n элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Пример 4.2.3 В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здание.

Решение: Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. А так как всего 8 гнезд, а флажков 2 вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т.е. это размещение с повторением.

Таким образом, существует 256 способов украсить здание с 8 гнездами флажками двух цветов.