1. Задача о двоичных данных.

1.1. Количество бракованных деталей в партии не должно превышать 5%. В результате контроля 100 деталей из этой партии обнаружено 6 бракованных. Можно ли считать, что процент брака превосходит допустимый при уровне значимости 0,01?

1.2. При 4040 подбрасываниях монеты наблюдалось 2048 выпадений герба. Согласуются ли эти данные на уровне значимости 0,01 с гипотезой о симметричности монеты?

2. Проверка равенства параметров двух биномиальных величин

2.1. При опросе 200 старшеклассников, проживающих в некотором университетском городке, оказалось, что в местный университет собираются поступать учиться 70 из них. Через год после открытия в университете гуманитарного факультета из 300 опрошенных старшеклассников оказалось 120 желающих поступать в университет. Повлиял ли статистически значимо (на уровне доверия 98%) факт открытия гуманитарного факультета на намерения старшеклассников?

2.2. Тысячу человек классифицировали по признаку дальтонизма. Среди 480 мужчин оказалось 38 дальтоников, среди 520 женщин оказалось 6 дальтоников. Можно ли считать (с доверительной вероятностью 0,95),основываясь на этих данных, что вероятность заболевания дальтонизмом умужчин и женщин одинакова?

2.3. В течение месяца завод поставил предприятию 200 корпусов, изкоторых 3 оказались дефектными. В следующий месяц было поставлено 350 корпусов, из которых 7 оказались дефектными. Изменилась ли доля дефектных корпусов в поставках завода? Принять уровень значимости равным 0,01.

3. Нахождение объёма репрезентативной выборки.

а) однородная генеральная совокупность

3.1. Известно, что 2% населения некоторого города больны малярией. Сколько жителей этого города нужно обследовать, чтобы среди обследуемых больные малярией составляли 2 ± 0,2% с вероятностью p ≥ 0,9876?

3.2. Население города составляет 3 млн. человек. Известно, что 2% населения этого города больны малярией. Сколько жителей этогогорода нужно обследовать, чтобы среди обследуемых больные малярией составляли 2 ± 0,2% с вероятностью p ≥ 0,9876?

3.3. Антрополог собирается изучать обитателей некоторого острова снаселением в 3200 человек. Он намерен оценить процент населения с группой крови 0, и будет удовлетворен, если этот процент окажется правильным в пределах ± 3%. Опираясь на данные предшествующих исследований других этнических групп этой расы, антрополог считает, чтогруппу крови 0 должны иметь от 30 до 60 процентов населения. Сколько островитян антрополог должен выбрать для изучения их группы крови, если он считает допустимым получить неудачную выборку в одном случае из 20.

3.4. Для участия в выборах кандидату в депутаты необходимо собрать 100000 подписей в свою поддержку. Претендент X передал в избирательнуюкомиссию 150000 подписей. Однако, поступили сведения о том, что в подписных листах кандидата X есть поддельные подписи. Сколько подписей надо проверить, чтобы оценить процент поддельных подписей с точностьюдо 2%, и гарантировать этот результат с вероятностью 0,99?

3.5. В городскую администрацию поступила просьба о переносе автобусной остановки. Сколько жителей микрорайона надо опросить, чтобы с точностьюдо 0,01 оценить долю людей, считающих перенос остановки целесообразным? Результат должен быть гарантирован на уровне доверия 0,95. Известно, что в данном микрорайоне проживает 4000 человек.

3.6. Численность работающего населения города Х составляет 170400 человек. Планируется провести выборочное обследование, чтобы установить процент работающих, продолжительность поездки на работу у которых превышает полчаса. Сколько человек надо опросить, чтобы с вероятностью 0,99 оценить требуемую величину с точностью до 0,5%.

б) расслоенная генеральная совокупность

3.7. Из 50 тыс. студентов МГУ 30 тыс. москвичи, 18 тыс. – иногородние россияне и 2 тыс. – иностранцы. Руководство МГУ проводит опрос студентов для того, чтобы выяснить, удовлетворяет ли учащихся качество преподавания в МГУ. Сколько студентов надо опросить, чтобы с вероятностью 0,98 оценить вероятность положительного ответа на этот вопрос с точностью до 0,1? Известно, что 5% выборочное исследование1996 года показало, что качеством обучения удовлетворены 60-80% иностранцев, 80-90% иногородних и 50-60% москвичей.

3.8. Необходимо провести медицинское обследование, чтобы установить распространенность некоторого заболевания в большом городе. Медикам известно, что в соседнем городе этим заболеванием страдают 5% детей и 1% взрослых. Сколько детей и сколько взрослых надо обследовать медикам, чтобы с вероятностью 0,98 установить процент заболевших с точностью до 0,5%? По статистическим данным 20% населения городасоставляют дети и 80% - взрослые.

3.9. Некоторый телеканал выпустил новый сериал. Руководителей этого канала интересует популярность сериала среди зрителей. Известно, что состав телезрителей неоднороден: 30% – молодежь, 30% – люди среднего возраста, 40% – люди пожилого возраста. Сколько телезрителей каждой возрастной категории надо опросить, чтобы с вероятностью 0,95 оценить процент поклонников этого сериала сточностью до 3%?

3.10. В стране 5% трудоспособного населения имеют сверхвысокие доходы, 10% – высокие доходы и 85% – средние и низкие доходы. Правительство решило ввести единую ставку подоходного налога равную 13%. Социологи должны выяснить поддерживает ли население это решение. Сколько людей трудоспособного возраста нужно опросить, чтобы с доверительной вероятностью 0,98 получить интересующую оценку с точностью до 0,01. Понятно, что 80-90% людей с высокими доходами это решение поддерживают.

3.11. В городе N проводится контрольный рейд по проверке наличия регистрационных свидетельств у торговых палаток. В районе А имеется 1400 палаток, в районе В – 1300, в районе С – 1500. Какое количество палаток надо проверить, чтобы с точностью до 1% оценить процент незарегестрированных палаток с доверительной вероятностью 0,97? Известно, что в предыдущем году в районе А их было 4%, в районе В – 10%, в районе С – 7%?

3.12. В МАИ 70% студентов – москвичи, а 30% – иногородние, проживающие в общежитии рядом с институтом. Руководство института планирует перенести начало занятий с 9 утра на 8 утра и интересуется мнением студентов. Сколько студентов надо опросить, чтобы оценить вероятность положительного ответа на этот вопрос с точностью 0,1 и гарантировать этот результат с вероятностью 0,98? По предварительным опросам 90% москвичей отрицательно относятся к переносу занятий.

3.13. В МАИ работает 1500 преподавателей и учится 15000 студентов. Как велико должно быть число опрошенных, чтобы оценить процент маевцев, которые ездят в институт на автомобиле с точностью до 5% на уровне доверия 0,98? По предварительным сведениям автомобиль имели 30% преподавателей и 10% студентов.

3.14. Известно, что на предыдущих выборах в округе кандидат Х получил поддержку у 60% избирателей пожилого возраста и у 20% избирателей молодого и среднего возраста. Как велико должно быть количество опрошенных избирателей этого округа, чтобы оценить долю голосов, на которую может рассчитывать кандидат Х, с точностью до 0,01 с вероятностью 0,97? Известно, что в этом округе 30% избирателей пожилого возраста.