25.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.

Интегральное исчисление

Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Предварительные сведения из алгебры

а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x – a)a P1(x), a³1, P1(a)¹0.

Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается через производную. a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P¢(a)=…= P(a-1)(a)=0, P(a)(a)¹0.

б) Если w = u + i v, v¹0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число = u - i v также является корнем многочлена. Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x2+px+q)b P1(x), b³1, P1(w)¹0,

(x - w)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)= x2+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где a1,a2,…-действительные корни кратностей a1,a2,… в количестве m штук, а w1,w2,… комплексные корни кратностей b1,b2,…. Связь между корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x2+pkx+qk=(x - wk)(x - k).

Определение. Рациональная функция ( отношение двух многочленов) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь.

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

Условный экстремум Достаточные условия.

Пусть в точке x0= выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения Df=f(x) – f(x0) при условии, что xÎD1 (область определяемая уравнениями связи). Для таких точек DFI = 0, поэтому Df = DL, и вопрос исследования поведения Df сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа DL. По формуле Тейлора Правило Лопиталя Примеры решения и оформления задач контрольной работы

DL = , eij®0 при Dxi®0. Теорема Лагранжа

Если выразить «зависимые» Dxi через Dxi независимых переменных (это можно сделать продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для DL следующего вида

DL = , hij®0 при Dxi®0.

После этого можно использовать условия для «безусловных» экстремумом для квадратичной формы .

26.Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,

а, k, C - постоянные величины.

Таблица интегралов

В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).

Пример 1

Вычислить

Решение.

Пример 2

Вычислить интеграл

Решение.

Преобразуя выражение и применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем