2. Причины возникновения переходных процессов Законы коммутации
Основными элементами электрической цепи являются линейные, сосредоточенные, со значениями параметров не зависящими от времени, резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Мы уже говорили об этом в первой лекции. Теперь рассмотрим их более внимательно с точки зрения поведения их при протекании переходных процессов.
Резистором называют элемент (рис. 4.2), в котором текущий через него мгновенный ток i(t) и приложенное к нему мгновенное напряжение u(t) пропорциональны друг другу, т. е. связаны законом Ома для мгновенных величин (1.15.1).
(4.1)
где R – сопротивление резистора, измеряемое в омах (Ом);
G=1/R – проводимость, измеряемая в сименсах (См);
i(t) – мгновенный ток, А;
u(t) – мгновенное напряжение, В.
Рис.4.2
Для короткозамкнутой цепи (идеальный проводник) R=0, G=∞ и u(t)=0, а для разомкнутой цепи (разъём) R=∞, G=0 и i(t)=0.
Конденсатор (рис.4.3) обозначают буквой С, его ёмкость измеряется в фарадах (Ф). Значение линейной, не зависящий от времени емкости описывается линейным уравнением
Q = Cu. (4.2)
Ток, текущий через конденсатор, согласно равен
i(t) = dq/dt. (4.3)
Рис. 4.3
Подставляя (4.2) в (4.3) и учитывая, что С = const, получим
(4.4)
а обратную зависимость можно получить из выражения
(4.5)
где U0 – константа интегрирования, числено равная начальному напряжению на конденсаторе.
Мгновенная мощность, поступающая в ёмкость, равна
(4.6)
Она связана с процессом накопления или убыли электрического заряда в ёмкости.
Катушка индуктивности (рис. 4.4) обозначается буквой L, а её индуктивность измеряется в генри (Гн). Линейная, не зависящая от времени индуктивность описывается линейным уравнением
Ф = Li, (4.7)
где Ф – обозначает магнитный поток в веберах (Вб).
Мгновенное напряжение на индуктивности определяется из выражения
u(t) = dФ/dt. (4.8)
Рис. 4.4
Подставляя (4.7) в (4.8) получим, учитывая, что L=const
(4.8)
а обратную зависимость можно представить в форме
(4.9)
где I0 – константа интегрирования, числено равная
начальному току, протекающему через катушку индуктивности.
Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, равна
(4.10)
Она связана с процессом изменения энергии магнитного поля.
В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергия безвозвратно преобразуется в другие виды энергий (например, в тепловую на активном сопротивлении).
После окончания переходного процесса устанавливается новый установившийся режим, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать за счет энергии электромагнитного поля, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи.
Изменения энергии магнитного и электрического полей не могут происходить мгновенно, и, следовательно, не могут мгновенно протекать процессы в момент коммутации. В самом деле, скачкообразное (мгновенное) изменение энергии в индуктивном и емкостном элементе приводит к необходимости иметь бесконечно большие мощности Р = dW/dt, что практически невозможно, ибо в реальных электрических цепях бесконечно большой мощности не существует.
Таким образом, переходные процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время t→∞.
Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, и их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного WМ и электрического полей WЭ описывается выражениями
;
,
где L и C константы, то не могут изменяться мгновенно ток в индуктивности и напряжение на емкости. На этом основаны законы коммутации.
Первый закон коммутации состоит в том, что ток в ветви с индуктивным элементом в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, какое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения он начинает плавно изменяться. Сказанное обычно записывают в виде
iL(0-) = iL(0+),
считая, что коммутация происходит мгновенно в момент t = 0. Первый закон коммутации формулируют еще следующим образом: ток в индуктивности не может измениться скачком.
Второй закон коммутации состоит в том, что напряжение на емкостном элементе в начальный момент после коммутации имеет то же значение, какое оно имело непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения оно начинает плавно изменяться:
UC(0-) = UC(0+).
Второй закон коммутации формулируют еще следующим образом: напряжение на емкости не может измениться скачком.
Следовательно, наличие ветви, содержащей индук-тивность, в цепи, включаемой под напряжение, равно-сильно разрыву цепи в этом месте в момент коммутации, так как
iL(0-) = iL(0+).
Точно также, наличие в цепи, включаемой под напряжение, ветви, содержащей разряженный конденсатор, равносильно короткому замыканию в этом месте в момент коммутации, так как
UC(0-) = UC(0+).
Однако в электрической цепи возможны скачки напряжений на индуктивностях и токов на емкостях!
В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего в них переходные процессы не возникают, т.е. в таких цепях стационарные режимы устанавливаются мгновенно, скачком.
В действительности любой элемент цепи обладает каким-то сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью С, т.е. в реальных электротехнических устройствах суще-ствуют тепловые потери, обусловленные прохождением тока и наличием сопротивления r, а также магнитные и электрические потери, определяемые наличием электрического и магнитного полей.
Переходные процессы в реальных электротехнических устройствах можно ускорять или замедлять путем подбора соответствующих параметров элементов цепей, а также за счет применения специальных устройств.