12. Цилиндрическая система координат.

Рассмотрим две наиболее часто употребляемые частные случаи системы криволинейных координат. И первая система – цилиндрическая система координат.

В этой системе выполняются следующие соотношения:

; ;

При этом орты {1, 1, 1z} образуют правую тройку. Положение точки M определяется через координаты (ρ, φ, z). Коэффициенты Ламэ для этой системы будут иметь следующие выражения:

, или .

13. Сферическая система коордиат.

Сферическая система координат водится согласно рисунку.

Для этой системы:

;

Положение точки M в этой системе определяется значениями (r, , φ). В отличии от географической системы, отсчеты координаты осуществляются от “северного” полюса в сторону “южного”. И так как координата z определяется в этом случае через косинус угла (в отличии от гегографической широты), то этот угол носит название кошироты.

Коэффициенты Ламэ для этой системы: .

С некоторыми примерами других систем криволинейных координат можно познакомиться в книге Арго «Математика для электро- и радиоинженеров».

Цикл II. Физическое поле.

Этот раздел посвящен изучению полей, создаваемых элементарными моделями, с помощью которых можно описать реально наблюдаемые физические поля. Для этого необходимо выяснить основные закономерности этих модельных полей.

Лекция VI. Возбудители поля.

Сформулируем 3 фундаментальные аксиомы о физическом поле:

1. Поле возникает в результате действия особых физических объектов. Если нет этих объектов, то нет и поля. Эти объекты – возбудители поля.

2. Возбудители поля занимают ограниченную часть пространства.

3. Поле распределено вблизи возбудителей поля и непрерывно убывает до нуля при удалении от возбудителей.

Эти аксиомы – обобщение нашего опыта. Дальнейшее изложение будет строго математическим.

Основные определения и теоремы.

1 . Если в какой-то области V скалярное поле u удовлетворяет уравнению Лапласа Δu = 0, то говорят, что функция u в области V гармонична. Область V – область гармоничности функции u.

2. Лемма о регулярности гармонической функции на бесконечности. Если функция u гармонична вне замкнутой поверхности S и исчезает на бесконечности, то при достаточно больших r (r > r₀) имеют место соотношения: . Если функция u ведет себя таким образом, то говорят, что она регулярна на бесконечности.

3. Теорема о тождественном нуле (без доказательства). Если функция u гармонична во всем пространстве и убывает на бесконечности, то она тождественно равно нулю. (Доказательство этой теоремы можно посмотреть в учебнике А.Н. Тихонова и А.А. Самарского «Уравнения математической физики»).

Докажем две теоремы единственности.

Теорема 1. Если скалярное поле a непрерывно вместе со своими производными во всем пространстве и убывает на бесконечности, то задача определения этого поля из уравнения имеет единственное решение.

Доказательство. Доказательство будем проводить от противного. Пусть есть два решения и . Рассмотрим разность . Тогда

.

Отсюда следует, что , . По условию теоремы поле a исчезает на бесконечности, следовательно, поле так же убывает на бесконечности и удовлетворяет уравнению Лапласа во всем пространстве. На основании теоремы о тождественном нуле следует, что .

Теорема 2. Если векторное поле непрерывно вместе со своими частными производными во всем пространстве и исчезает на бесконечности, то задача определения этого поля из системы уравнений:

,

имеет единственное решение.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1, будем исходить от противного. Пусть есть два решения этой системы и . Рассмотрим разность . Тогда

.

Разложим вектор по декартовому базису: , i = x, y, z. Тогда . В силу условий налагаемых на поле следует, что , и, следовательно, , .

Основные выводы из теорем единственности. 1. Градиент скалярного поля несет полную информацию об этом поле. 2. Дивергенция и ротор векторного поля несут полную информацию об этом поле. 3. Лапласиан скалярного поля Δu и лапласиан векторного поля также несут полную информацию об этих полях.

Если поле во всем пространстве удовлетворяет условиям:

,

то поле тождественно равно нулю ( ), т.е отсутствует. Следовательно, нет возбудителей поля . Поле появляется тогда, когда или . Таким образом, скалярные объекты q и векторные объекты характеризуют возбудители поля, и существование поля связано с этими двумя объектами.

Для уяснения смысла величин q и рассмотри две гидродинамические модели.

С калярные возбудители поля. Пусть безграничное пространство заполнено жидкостью с плотностью m = 1, и пусть в некотором дифференциально малом объеме dv за каждую единицу времени возникает новая порция жидкости dQ. Т.к. плотность жидкости m равна 1, то dQ соответствует объему. Будет происходить истечение жидкости, и вектор скорости истечения жидкости будет направлен по радиусу - . Возьмем сферическую поверхность S и определим объем жидкости, протекающую через эту поверхность за единицу времени:

.

Из полученного равенства получаем, что поле скорости истечения жидкости определяется соотношением .

Исследуем полученное поле скоростей. Для этого определи дивергенцию и ротор этого поля. Так как поле скоростей является сферически симметричным, то вычисления будем проводить в сферической системе координат:

,

.

dQ – объемность или масса источника, q – плотность источника. Для всего объема v – . Если q>0, то говорят об источнике, при q<0 – о стоке, или о расхождении и схождении жидкости (дивергенция – расхождение).

.

Ротор поля скоростей для этого случая всюду равен нулю.

Поместим в область S гребное колесико с лопастями. Тогда на элемент окружности колесика действует вращательный момент , где a – радиус колесика, k – некоторый коэффициент пропорциональности. Полный момент, действующий на колесико –

, таким образом, колесико в этом потоке не вращается.

Поля, удовлетворяющие уравнениям , рассматриваются как поле источников, а скалярные объекты, возбуждающие эти поля называются источниками.

Следствия. 1) Скалярный поток поля через любую замкнутую поверхность равен полной массе источников, находящихся в объеме:

.

2) Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нулю:

.

В екторные возбудители поля. Пусть безграничное пространство заполнено несжимаемой жидкостью. Размешаем эту жидкость так, что она будет вращаться с постоянной угловой скоростью  вокруг оси Z. Введем в рассмотрение векторный объект . Вектор скоростей вращающейся жидкости в цилиндрической системе координат будут иметь только  - компоненту: , где . Таким образом .

Определим дивергенцию и ротор полученного поля скоростей:

.

Полученный результат говорит о том, что данное поле скоростей не имеет источников.

.

Таким образом, ротор исследуемого поля скоростей отличен от нуля: . Величина характеризует некоторый объект, порождающий поле скоростей. Этот объект носит название вихря, и - плотность вихря.

Поместим гребное колесико в данное поле. Суммарный момент сил, действующих на это колесико, будет отличен от нуля и равен . Момент М максимален, когда ось Z совпадает по направлению с осью колеса, и скорость вращения колесика в любой точке объема будет одной и той же.

Реальное поле может являться суперпозицией полей разной природы, и по внешнему виду поля не всегда удается сказать, какими источниками оно вызвано. Рассмотрим следующий пример: по каналу течет вода. Введем ось Х совпадающую с серединой канала и направленную вдоль течения воды, а ось Y ей перпендикулярно. Пусть скорость течения воды подчиняется следующему закону: . Это означает, что течение в канале прямоструйное, и скорость течения максимальна в середине канала. Определим источники и вихри этого поля скоростей:

,

.

Полученные результаты показывают, что данное поле скоростей не имеет источников, а создается вихрями. Максимальная плотность вихрей у берегов. Поле скоростей закручивается таким образом, что создается прямоструйное течение.

В полях создаваемых источниками, т.е. в полях удовлетворяющих уравнениям распределение плотности q может быть любым. Возникает вопрос, а поведение поля так же может быть любым? Для ответа на этот вопрос рассмотри дивергенцию поля : . Полученный результат говорит о том, что поле не имеет источников, и само является вихревым полем.

Следствия. 1) Скалярный поток вихревого поля через замкнутую поверхность равен нулю:

.

2) Циркуляция вихревого поля по замкнутому контуру L равна потоку плотности вихря через поверхность S, ограниченную этим контуром:

.

Лекция VII. Уравнения поля.

Рассмотрим скалярное поле u, исчезающее на бесконечности, и определим его градиент . Рассмотрим дивергенцию этого поля: или . Последнее уравнение – скалярное уравнение Пуассона. Оно имеет единственное решение. Докажем это. Пусть есть два решения и . Рассмотрим разность . Тогда

.

В силу условий налагаемых на u следует, что – функция гармоническая во всем пространстве и исчезающая на бесконечности. Согласно теореме о тождественном нуле (лекция VI), , и, следовательно, .

Рассмотрим векторное поле . Оно удовлетворяет условиям , т.е. содержит как вихревую, так и безвихревую части. Для лапласиана этого поля справедлива следующая запись: . Введем обозначение . Тогда, . В декартовой системе координат последнее уравнение распадается на три уравнения: или , где i = x, y, z, т.е. состоит из трех скалярных уравнений Пуассона. Это означает, что для нахождения поля надо знать плотность источников и вихрей.

Таким образом, характер скалярного или векторного поля определяется из решения скалярного уравнения Пуассона. Для того чтобы решить уравнение введем в рассмотрение следующие три функции – функцию включения, функцию Дирака, функцию Грина.

1 . Функция включения. Эта функция была введена в рассмотрение Хевисайдом, и ее часто называют его именем, т.е. функцией Хевисайда. Эту функцию можно рассматривать как результат предельного перехода следующей функции:

.

При α → 0 .

Смещенная функция включения определяется следующим соотношением:

.

2. Функция Дирака. Эта функция впервые появилась в квантовой механике, и может быть определена как предельный переход следующей функции:

.

Характер поведения этой функции в зависимости от х будет следующим:

.

При α→0 получим бесконечно тонкий импульс:

.

Полученная функция носит название функции Дирака (импульс Дирака). Смещенная функция Дирака имеет вид:

.

Замечание. Функцию Дирака мы ввели как производную функции Хевисайда, хотя сама функция Хевисайда не имеет производной в точке x = 0. Такие функции носят название обобщенных функций.

Рассмотрим интеграл , где – непрерывная функция. Интеграл будем брать по частям ( ):

.

Возможны три случая: 1-й – х₀<x₁, 2-й – x₁<х₀<x₂, 3-й – х₀>x₂:

1. , ,

.

2. , ,

.

3. , , .

Таким образом .

(Вопрос – Чему равен интеграл на границе области?).

Частный случай – . Площадь импульса равна 1, поэтому эту функцию называют единичным импульсом.

Трехмерная функция Дирака – . Очевидно, . Рассмотрим объемный интеграл . Ограничимся случаями, когда линия, параллельная координатной оси, пересекает область v только в двух точках. Тогда:

.

,

,

.

Окончательно можно записать: (7.1).

3 . Функция Грина для уравнения Пуассона.

Пусть в пространстве расположены две точки – М и М₀. Функция Грина – функция взаимного расположения двух точек: . Иногда эту функцию записывают в виде . Функция взаимного расположения точек определяется разностью векторов и должна удовлетворять уравнению Пуассона . В общем случае это уравнение не имеет единственного решения. Наложим ограничения на функцию – предадим ей смысл поля: функция убывает на бесконечности и обладает сферической симметрией:

,

при .

Поместим начало отсчета в точку . Тогда . В сферической системе координат это уравнение приобретет вид:

.

При имеем: . Далее, из этого уравнения получаем:

, , .

Из условия убывания функции G на бесконечности следует, что С₂ = 0. Найдем константу С₁:

, .

Рассмотрим сферическую область V. Тогда

,

т.к. точка находится внутри области V (формула 7.1). Отсюда следует, что ;

,

.

Таким образом, функция Грина будет для данного случая иметь вид . Сместив точку из начала координат, окончательно получим

– фундаментальная функция Грина для уравнения Пуассона.

Вернемся к решению скалярного уравнения Пуассона . Для решения этого уравнения воспользуемся второй формулой Грина:

.

Поместим начало отсчета в точку M₀ ( ) и проведем из этой точки сферическую поверхность радиуса . Положим и :

,

т.к. , , то

.

Из условия следует, что . Обозначим через qⁱ источники внутри области V и через q^e – внешние по отношению к области V. Тогда интеграл в последнем уравнении представляет собой сумму воздействия всех внутренних источников, а второе слагаемое – действие всех внешних объемных источников, сведенных к действию некоторого источника, распределенного по поверхности сферы (эквивалентная замена внешних объемных источников поверхностным).

Устремим , при этом все источники окажутся внутри нашей сферы. Что произойдет с интегралом J_S? Рассмотрим этот случай:

.

Оценим полученный интеграл:

.

Воспользовавшись понятием регулярности функции u на бесконечности (Лемма о регулярности гармонической функции на бесконечности: если функция u гармонична вне замкнутой поверхности S и исчезает на бесконечности, то при достаточно больших r (r > r₀) имеют место соотношения: . Если функция u ведет себя таким образом, то говорят, что она регулярна на бесконечности), получим:

.

Так как , то . Окончательно можно записать:

. (7.2)

Полученный результат является решением скалярного уравнения Пуассона.

Решение векторного уравнения Пуассона , где . Для решения воспользуемся декартовым базисом. Тогда , где i = x, y, z, и

,

.

Лекция VIII. Потенциалы векторного поля.