6. Теоремы Грина.

Для вывода первой теоремы Грина воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса .

Пусть . Тогда

,

;

. (4.8)

Для вывода второй формулировки теоремы Грина перепишем уравнение (4.8), поменяв местами функции a и b:

,

Вычтя полученное уравнение из уравнения (4.8) получим вторую формулировку теоремы:

. (4.9)

Лекция V. Криволинейные координатные системы.

В лекциях по высшей математике вы должны были познакомиться с сферической и цилиндрической системой координат. Это частные случаи криволинейной координатной системы. Помимо сферической и цилиндрической существует еще множество различных координатных систем, которые вводятся в зависимости от типа решаемой задачи.

1. Основные определения.

Рассмотрим декартову систему координат. В этой системе положение какой-либо точки M определяются координатами (x, y, z). Пусть заданы функции , , , и эти функции образуют взаимно-однозначную систему со своими аргументами . Это означает, что можно создать систему функций, аргументами которой будут значения – , , . Это означает также, что положение точки M можно выразить через значения функций – M .

Можно зафиксировать значения функций u, v, w, положив их равным некоторым константам: , , . В результате будут образованы некоторые поверхности, которые будут координатными поверхностями. Пересечение координатных поверхностей дадут координатные линии. Так, пересечение поверхностей и дадут u-линию, поверхности и дадут v-линию и поверхности и – w-линию. Если полученные таким образом линии будут кривыми, то полученная система называется криволинейной. Если же эти линии в каждой точке пространства взаимно ортогональны, то полученная система называется ортогональной криволинейной системой. Это означает, что в каждой точке пространства существует ортогональный локальный базис {1u, 1v, 1w}. Направление ортов этого базиса может меняться в пространстве, т.е. орты локального базиса – переменные вектора. Этот базис подвижен. В отличие от локального базиса, декартовый (центральный) базис не меняет направления ортов базиса. Следовательно, центральный базис неподвижен, и он является основным.

2. Коэффициенты Ламэ.

Р ассмотрим какую-нибудь криволинейную координатную линию, например, u-линию. Возьмем две точки M и M расположенные на этой линии на расстоянии dl_u. Возникает вопрос, какова будет длина элемента дуги этой линии в зависимости от изменения параметра u.

Что бы объяснить, о чем идет речь, рассмотрим полярную систему координат. Положение точки в этой системе определяется расстоянием от центральной точки до точки наблюдения и углом , образованным этим радиус-вектором с осью X. Пусть точка M имеет координаты , а точка M – . Тогда длина дуги dl_ между точками M и M будет равна , т.е. длина дуги определяется изменением угла через некоторый метрический коэффициент, который и носит название коэффициента Ламэ.

Вернемся к вопросу о длине дуги dl_u. Она будет равна . Коэффициент – коэффициент Ламэ. С его помощью осуществляется перевод приращения аргумента в расстояние.

Получим выражение коэффициента Ламэ через частные производные:

.

Аналогичным образом определяются коэффициенты и :

. (5.1)

3. Переход от центрального базиса к локальному.

Пусть {1x, 1y, 1z} - центральный базис, {1u, 1v, 1w} - локальный. Разложим орт 1u по центральному базису:

;

.

Таким образом, выражения для направляющих косинусов будут иметь вид:

.

Переход от центрального базиса к локальному будет определяться соотношением

; . (5.2)

Переход от локального базиса к центральному:

; .

Преобразование компонент вектора осуществляется с помощью соотношений:

; .

6. Элементы длины, площади и объема.

Элементы дуги, площади и объема в криволинейных координатах будут определяться соотношениями:

;

;

; (5.3)

;

.

В последнем выражении введено обозначение .

7. Градиент скалярного поля.

Рассмотрим скалярное поле, зависящее от переменных u, v, w – a(u,v,w). Тогда выражение для градиента этого поля представляется следующим образом:

.

В то же время, – это производная скалярного поля a по направлению , и тогда:

.

Аналогичные соотношения получаются для и . В результате:

. (5.4)

8. Дивергенция векторного поля.

Для вывода выражения дивергенции векторного поля в криволинейных координатах воспользуемся полученным в четвертой лекции инвариантным определением дивергенции (4.4):

.

Д ля этого выделим в точке с координатами (u,v,w) элементарный прямоугольник со сторонами , и . Выражение для объема V этого прямоугольника нами уже было получено: .

Рассмотрим, чему будет равен скалярный поток вектора через поверхность S, ограничивающую этот прямоугольник, – . Так, поток вектора через поверхность при значении аргумента равном будет равен , при этом, поскольку вектор нормали 1n для этой поверхности совпадает с вектором 1u, то этот поток имеет положительный знак. В то же время, поток вектора через поверхность при значении аргумента равном u, будет равен . Знак “–” для этой стороны появляется из-за того, что нормаль к этой стороне направлена в противоположенную сторону по сравнению с вектором 1u. Таким же образом будет определяться поток вектора через другие стороны:

.

Рассмотрим первые два слагаемых. Для них можно записать:

*

При , разность, стоящую в скобках, можно представить в виде производной:

* .

Аналогичные соотношения можно получить для второй и третьей пары слагаемых. Таким образом, для скалярного потока поля можно записать:

.

Окончательно, выражение дивергенции в криволинейной системе координат будет следующим:

. (5.5)

9. Ротор векторного поля.

Для вывода выражения для ротора воспользуемся соотношением (4.7):

.

В качестве орта 1n рассмотрим в начале орт 1u, затем – орты 1v и 1w. Для вычисления проекции ротора на орт 1u выберем в пространстве точку с координатами , и в этой точке зададимся контуром, по которому будем вычислить циркуляцию вектора . Пусть этот контур лежит в плоскости , имеет положительное направление обхода, которое определяется по правилу правого винта, и представляет собой прямоугольник со сторонами равными и , которые соответствуют приращению своих аргументов и .

Площадь такого прямоугольника будет равна .

Циркуляция вектора по контуру, ограничивающему этот прямоугольник будет равна:

.

При расстановке знаков в этом выражении учитывалось направление обхода контура. Если оно совпадало с приращением аргумента, то знак положительный, если же обход совершался в противоположенную сторону, то знак – отрицательный.

Рассмотрим первые два слагаемые:

;

Аналогичную записать можно сделать для третьего и четвертого слагаемых:

.

В результате, для можно записать:

.

Точно так же можно получить выражения для и .

Окончательное выражение для ротора в криволинейной системе координат будет иметь вид:

. (5.6)

10. Лапласиан скалярного поля.

. (5.7)

11. Лапласиан векторного поля.

Лапласиан векторного поля определяется из выражения:

.

Это выражение получается достаточно длинным и сложным для запоминания, и хотя вывод его не представляет сложностей, в этом курсе мы этого делать не будем. Полное выражение для лаплассиана векторного поля можно посмотреть в “Cправчнике по математике” авторов Г. Корн и Т. Корн.