1.3. Кинетическое уравнение газов

Мы подчеркивали, что законы Бойля и Шарля получены эмпирическим, опытным путем. Однако эти уравнения могут быть выведены и теоретически. Еще в 1738 году Бернулли теоретическим путем пришел к закону Бойля, рассматривая процесс столкновения молекул газа со стенками сосуда. Совокупность представлений о температуре и давлении газов как проявление движения молекул называют кинетической теорией газов.

В этом случае давление рассматривается как результат бомбардировки молекулами стенок сосуда, а температура считается пропорциональной средней энергии поступательного движения молекул.

Для вывода уравнения необходимо ввести ряд упрощений.

1. Молекулы пренебрежимо малы по сравнению с разделяющими их расстояниями.

2. Отсутствует взаимодействие между молекулами.

3. Молекулы движутся по прямым линиям и испытывают идеально упругие столкновения друг с другом и со стенками сосуда.

Это означает, что при столкновении молекул их средняя кинетическая энергия сохраняется до тех пор, пока температура остается постоянной. Эти условия практически соблюдаются в случае малых плотностей газа.

Рассмотрим простую систему из N молекул газа, каждая из которых имеет массу m. Температура системы Т. Молекулы находятся в коробке кубической формы с ребром, равным а. Молекулы двигаются со скоростями v₁, v₂, v_{3 . . .} v_N. Понятно, что молекулы могут двигаться в разных направлениях. Это можно представить как движение в системе координат x, y, z, совпадающих с ребрами куба. Для молекул эти скорости будут v_x1, v_x2, v_{x3 . . .} v_xN ; _Vy1, v_y2, v_{y3 . . .} v_yN; v_z1, v_z2, v_{z3 . . .} v_zN:

V₁² = V_x1 ² + V_y1² + V_z1²_;

V₂² = V_x2 ² + V_y2² + V_z2^2;

V₃² = v_x3 ² + v_y3² + v_z3^2;

v_N² = v_xN ² + v_yN² + v_zN^2.

Cреднеквадратичная скорость молекул будет равна:

. (1.9)

C одной и той же стенкой молекула будет сталкиваться через каждые 2а. Если ее скорость вдоль оси х равна v_x см/сек, то она будет ударять об эту стенку v_x/2а раз в секунду. После каждого столкновения молекула будет отскакивать с такой же скоростью v_x, не теряя кинетической энергии. Кинетический момент (импульс) молекулы равен произведению массы на скорость, а скорость изменения импульса во времени есть не что иное, как сила.

Действительно, основное уравнение механики f = ma, где а – ускорение. Ускорение равно изменению скорости во времени dv/dt, тогда сила равна mdv/dt или f = d(mv)/dt.

Импульс молекулы до столкновения был mv_x, а после стал -mv_x. Изменение импульса одного столкновения равно 2mv_x. Молекула сталкивается со стенкой v_x/2а раз в секунду. Тогда

. (1.10)

Полная сила, действующая на стенку со стороны всех N молекул, равна сумме сил, действующих со стороны каждой отдельной молекулы:

, (1.11)

а давление – это сила, действующая на единицу площади, т.е. на а², тогда

, (1.12)

но а³ равно объему куба;

. (1.13)

То же самое можно написать для других осей.

После группировки получим:

. (1.14)

Принимая во внимание уравнение для квадратичной скорости, получим:

или (1.15)

или

, (1.16)

где N – число молекул в сосуде, а U – среднеквадратичная скорость молекул.

Поскольку N и m – постоянны, а скорость молекулы является функцией лишь температуры, то понятно, что

. (1.17)

Любые виды энергии легко переводятся друг в друга с использованием газовой постоянной R и числа молей газа, следовательно

PV = nRT.