Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина – скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени. Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор (рис. 2). В течение малого промежутка времени Δt точка пройдет путь ΔS получит элементарное (бесконечно малое) перемещение .

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt:

. (3).

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением . При неограниченном уменьшении Δt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью :

. (4)

Мгновенная скорость , таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения .

По мере уменьшения Δt путь Δs все больше будет приближаться к , поэтому модуль мгновенной скорости.

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

. (4)

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной − средней скоростью неравномерного движения:

Если выражение ds = dt проинтегрировать по времени в пределах от t до t + Δ t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Δ t:

(5)

Ускорение и его составляющие: нормальное и тангенциальное ускорения.

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение. Рассмотрим плоское движение, т.е. такое, при котором все траектории точки лежат в одной плоскости (рис. 3). Пусть вектор задает скорость точки А в момент времени t. За время Δt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость , отличную от как по модулю, так и направлению и равную . Перенесем вектор в точку А и найдем .

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени Δt:

(6)

Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

(7)

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А по направлению параллельному скорости отложим вектор, по модулю равный . Очевидно, что разность этих двух векторов, равный , определяет изменение скорости по модулю за время Δt:

.

Т.о получаем ускорение тангенциальное: ,(8) Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости за время Δt по направлению. (9) Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому участок траектории DS можно считать дугой окружности некоторого радиуса R, мало отличающегося от хорды АВ с малым центральным углом . Кроме того можно считать, что скорость меняется незначительно ( ).Тогда модуль изменения скорости имеет вид

, (10)

Центральный угол выражается следующим образом

, (11)

Подставляя (11) в (10) получаем

, (12)

Заменяя в (9) из (12) получаем выражение для нормального ускорения

, (13)

При угол между векторами и стремится к прямому. Следовательно, при t®0 векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный к вектору скорости , направлен к центру ее кривизны (к т. О). Вторая составляющая ускорения

н азывается нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории, к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

. (14)

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения – быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ус­корения движение можно классифицировать следующим образом:

– прямолинейное равномерное движение;

– прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения . Если начальный момент времени

t₁ =0, а начальная скорость то, обозначив t₂ = t и , получим , откуда .

Проинтегрировав формулу ds = dt в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим длину пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения:

– прямолинейное движение с переменным ускоре­нием;

. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

– равномерное криволинейное движение;

– криволинейное равнопеременное движение;

– криволинейное движение с переменным ускорением.