Второй закон динамики для вращательного движения. Момент силы. Момент инерции.

Представим, что некоторое твердое тело вращается без трения вокруг некоторой оси ОО.

Пусть из всех материальных точек рассматриваем пока только одну, масса которой m_{i ,} находящейся на расстоянии r_i от оси ОО (рис. 14).

Рис. 14

Предположим, что на эту материальную точку действует внешняя сила не направленная по касательной к окружности, по которой вращается материальная точка, а составляющая некоторый угол с касательной (предположим, что он острый.

Проекция силы на касательную даст нам тангенциальную силу , выражающуюся через тригонометрическую функцию косинуса:

(67)

Под действием этой силы материальная точка имеет тангенциальное ускорение

, (68)

Используя связь с угловым ускорением получаем

, (69)

Умножив обе части уравнения на r_i получим

, (70)

В левой части последнего равенства стоит величина, которая носит название момента силы относительно сои вращения.

Момент силы M_i относительно некоторой точки О равен векторному произведению вектора силы на радиус- вектор, соединяющий т.О и точку, в которой приложена сила: , (71)

Проекция радиуса –вектора на направление перпендикулярное вектору силы носит название плеча силы . Потому численное значение момента силы может быть выражено и через радиус- вектор и через плечо:

, (72)

Величину численно равную произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния от центра вращения называют моментом инерции материальной точки, являющейся скаляром:

, (73)

Т.о. для i-той материальной точки получаем выражение

, (74)

которое устанавливает, что инерционные свойства материальной точки при её движении по окружности определяют не только ее масса, но и положение точки относительно центра вращения.

Исходя из определения вектора угловой скорости (в соответствии с нашим рисунком) его направление будет по оси вниз. Если скорость вращения растет, то тангенциальная сила совпадает с вектором линейной скорости и угловое ускорение будет направлен так же как вектор угловой скорости. Ввиду того, что момент инерции скаляр, то момент силы, как вектор должен быть направлен так же, как вектор углового ускорения. Т.о. направление вектора момента силы связано с направление силы правилом правого винта (буравчика, штопора): вектор момента силы откладывается по оси вращения (псевдовектор) в сторону поступательного движения винта с правой нарезкой (штопора, буравчика), который вращается в направлении действия силы (рис. 15).

Возвращаясь к ранее рассматриваемому телу, разбитому на отдельные малые элементы, для которых было получено выражение (9), просуммируем равенства по всем элементам m_i :

, (75)

В виду того, что угловое ускорение одинаково для всех элементов тела, то

, (76)

Слева в этом уравнении стоит сумма сил, действующих на отдельные элементы тела. В теоретической механике доказана теорема (Вариньона) о том , что момент сил относительно какой –либо оси равен алгебраической сумме моментов этих сил относительно той же оси.

Иначе говоря, в левой части уравнения (76) стоит величина вектора полного момента сил , действующих на тело или систему относительно оси вращения.

Т.к. векторы всех моментов сил, действующих на отдельные элементы, откладываются вдоль оси, то и вектор полного момента сил также лежит на этой оси.

Вектор полного момента сил, действующих на тело, относительно некоторой оси, лежит вдоль оси (псевдовектор) и равен векторном произведению радиуса-вектора точки приложения результирующей силы на вектор этой силы:

, (77)

Величина равна сумме моментов инерции отдельных элементов тела или системы относительно оси вращения и называется моментом инерции J тела относительно оси:

, (78)

В случае однородного распределения массы по телу момент инерции вычисляется интегрально:

, (79)

В общем можно сказать, что момент инерции тела зависит от массы тела, распределения массы по объему тела, формы тела

Если система состоит из нескольких тел, момент инерции которых относительно оси вращения вычислен, то общий момент инерции системы равен их сумме:

, (80)

Т. о. с учетом сказанного можно записать основное уравнение вращательного движения в виде

, (81)

В заключение приводим некоторые формулы для вычисления моментов инерции тел правильной геометрической формы.

1. Момент инерции тонкостенного цилиндра, обруча и других подобных тел, у которых масса распределена равномерно по окружности, а толщина стенки тела во много раз меньше радиуса, ось вращения перпендикулярна плоскости окружности проходит через центр:

, (82)

2. Момент инерции толстостенного цилиндра с внешним и внутренним радиусами R₁ и R₂, ось вращения перпендикулярна плоскости окружности проходит через центр:

, (83)

3. Момент инерции однородного (сплошного) цилиндра, ось вращения перпендикулярна плоскости окружности проходит через центр:

, (84)

4. Момент инерции стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через середину стержня:

, (85)

5. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его геометрический центр

, (86)

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то его момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой может быть найден по теореме Штейнера:

Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции этого тела относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

, (87)

Подсчитаем, например, каков будет момент инерции для стержня, когда его ось проходит через его конец и перпендикулярно стержню:

, (88)