Динамика вращательного движения твердого тела Понятие абсолютно твердого тела

До сих пор нами рассматривались движения материальных точек, в которых форма и размеры тел не учитывались.

Теперь необходимо установить, как будет происходить движение реального твердого тела , имеющего конечные размеры. При этом объем тела можно разбить на столь большое число маленьких элементов, что их размерами по сравнению с размерами самого тела можно пренебречь. В этом случае твердое тело можно рассматривать, как совокупность (систему) материальных точек.

Абсолютно твердым телом называется тело, все точки которого (бесконечно малые элементы массой m, на которые мы разбивали тело), находятся на неизменном расстоянии друг от друга.

Вследствие этого все точки будут двигаться при поступательном движении с одинаковыми скоростями и ускорениями и тогда можно записать уравнение движения каждой материальной точки в виде

(62)

----------------------

или суммируя левые и правые части уравнений получим

(63)

где внутренние силы, внешние силы.

Учитывая, что сумма внутренних сил равна нулю, а сумма масс-это масса всего тела получим

где ,

Т.о. рассмотрение поступательного движения твердого тела можно заменить рассмотрением движения одной материальной точки с массой равной массе тела и находящейся под действием внешней силы, равной сумме внешних сил. Такой точкой может быть центр тяжести тела, положение которого в теле находится из условия равновесия тела (системы материальных точек) относительно точки опоры или оси.

Представим, что система состоит из двух материальных точек массами m₁ и m₂, расположенных на оси х (рис. 13). Тогда условие равновесия будет выглядеть:

, отсюда (64)

Рис. 13

Из последней формулы видно, что ускорение свободного падения не входит в окончательный результат, т.е вместо понятие центра тяжести ввести понятие центр масс и изучать его движение. Положение центра масс и центра тяжести совпадает только для однородного силового поля.

Полученный результат можно обобщить на случай с n материальными точками и получить пространственные координаты:

(65)

Необходимо отметить, что центр масс может быть и не связан с наличием массы в нем. Действительно, если взять обруч, то его масса распределена на периферии, центр масс находится в центре; при разрыве летящего снаряда его центр масс движется с постоянной скоростью, хотя его осколки летят по самым различным направлениям с различными скоростями.

(66)

Из полученного равенства видно, что так как правая часть уравнения для изолированной системы остается постоянной, то и произведение массы тела на его скорость в левой части то же остается постоянной.

Если в уравнениях для центра масс взять производную по времени, то в правой части получим сумму импульсов материальных точек:

Т.о при отсутствии действия внешних сил на механическую систему, ее центр масс будет двигаться с постоянной скоростью, т.е. движется так же, как движется по инерции каждая точка этого тела. Поэтому центр масс называют также и центром инерции..