§ 3.3. Методы решения электростатических задач.

В предыдущем параграфе мы сформулировали основную задачу электростатики, как краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных. Аналогичное решение такой задачи возможно лишь в сравнительно большом числе случаев (в задаче обладающей симметрией).

Методы решения краевых задач довольно сложны и рассматриваются в курсах математической физики. Однако, в некоторых простых вспомогательных методов удается обойти непосредственное решение уравнения Пуассона или значительно упростить его.

Рассмотрим основные методы:

1.) Метод непосредственного интегрирования по распределению зарядов.

Уравнения электростатики было получены нами в результате обобщения закона Кулона для точечного заряда на случай объемного тела заряженного с заданной плотностью (см. §2.1).

В примере можно найти напряженность поля созданного любым заряженным телом. В действительности подобные интегралы могут быть вычислены для тел простейшей формы: прямая, круглое кольцо или диск, плоскость шар.

Отметим, что на практике, как правило, удобней, повторять рассуждения, приводящие к формуле (1) или (2) в каждом конкретном случае.

Пример №1.

Найти напряженность поля бесконечной прямой нити заряженной с линейной плотностью . ( )

Решение.

В силу симметрии будет направлен, как показано на рисунке.

П редставим этот результат в цилиндрических координатах.

От и z не зависит напряженность, роль играет только r.

.

.

Этим же методом могут быть найдены напряженности полей для кольца диска, цилиндра, сферы, плоскости.

2.) Использование теоремы Гаусса.

Этот метод основан на использовании теоремы Гаусса, являющейся интегральной формой одного из уравнений Максвелла.

Основная идея этого метода заключается в следующем.

Тело, являющееся источником поля, окружается вспомогательной поверхностью S, которая должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Поверхности, составляющие S, можно разделить на две группы и

:

1. В каждой точке вектор напряженности коллиниарен вектору (нормали). .

2. В каждой точке вектор напряженности перпендикулярен вектору . .

2. В каждой точке

Используя определение потока:

Таким образом, применение теоремы Гаусса к такой вспомогательной поверхности позволяет легко вычислить поток и определить напряженность поля в каждой точке вспомогательной поверхности. Затем используя соображения симметрии можно записать выражение вектора в любой точке.

Пример №1.

Найти напряженность поля бесконечной прямой нити заряженной с линейной плотностью ( ).

Решение.

В качестве вспомогательной поверхности выберем цилиндр, который совпадает с нитью.

.

так как то .

Пример №2.

Найти поля бесконечной плоскости однородно заряженной с поверхностной плотностью .

Решение.

3.) Решение уравнения Пуассона в простейших случаях.

В некоторых случаях основная задача электростатики, т.е. краевая задача для уравнения Пуассона, может быть значительно упрощена и решена элементарными методами. Чаще всего это удается сделать в следующих случаях:

1. В случае симметрии задачи. Дифференциальное уравнение Пуассона сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению.

2. В некоторых случаях удается подобрать вид общего решения уравнения Пуассона из соображения симметрии. Это чаще всего удается сделать для бесконечных областей.

Пример №1.

Найти напряженность электростатического поля, если в каждой точке пространства плотность заряда описывается формулой:

.

Решение.

– уравнение Пуассона.

.

Пример №2.

Найти потенциал и напряженность электрического поля создаваемого шаром с радиусом R, где r – расстояние до центра шара, заряженным с плотностью:

Решение.

– уравнение Пуассона.

Поскольку задача обладает сферической симметрией для ее решения целесообразно использовать сферические координаты:

Чему тогда равняется

На этот вопрос отвечает теория Ламе.

Из соображения симметрии и

1. В случае, когда .

Количество констант зависит от порядка.

2. В случае, когда .

Обозначим:

Из требования конечности следует, что , в противном случае . Поскольку значение потенциала определенно с точностью до константы, то значения или можно выбрать произвольно.

Выберем потенциал так, чтобы:

Оставшиеся константы найдем из граничных условий: