Решение задач по теме «Средние величины и показатели вариации»

Изучить по любому источнику данную тему, разобраться, что характеризует ИСО (исходное соотношение средней); рассмотреть, какой вид средней (т.е. какая формула) используется для расчета среднего показателя изучаемого явления. Особое внимание обратить на различие в применении средней арифметической взвешенной и средней гармонической взвешенной, для этого очень внимательно рассмотреть явление, определить какой признак является «осредняемым», какой первичным в характеристике частот.

Например, «определить средний возраст» - показатель возраста является осредняемым (х); «определить средний процент выполнения плана» - тогда осредняемая величина – процент выполнения плана (х) и т.д.

Особенную трудность вызывает расчет среднего процента выполнения плана, среднего процента стандартной продукции и т.д., т.е. средних относительных величин.

Для таких задач нужен анализ сравнительных формул: логическая формула для определяемого показателя и формула исходной статистической средней.

Например: Определить средний процент брака двух видов продукции, если известны проценты брака каждого вида продукции.

Решение: сравниваем две формулы:

Логическая: % брака = ∙ 100%

ИСС = = , где x – значение признака,

f – веса средней (частота).

Тогда по аналогии: % брака – осредняемый признак (х); стоимость бракованной продукции – x f; стоимость всей продукции f.

Пример (исходные данные):

Номера магазинов	Фактический товарооборот, тыс. руб.	Выполнение плана, %
А	1 (xf)	2 (x)
1	260	102
2	190	96
3	150	100

Вычислить средний процент выполнения плана товарооборота по трем магазинам.

Осредняемый признак обозначен символом x - выполнение плана, фактический товарооборот – вторичный носитель признака – символом xf.

Процент выполнения плана = ∙ 100%.

Аналогично: = .

Для вычисления среднего процента выполнения плана применяется формула средняя гармоническая взвешенная, т.к. плановые задания (частоты) неизвестны:

= = = = = 99,5 (%).

Рассмотрим методику расчета средней величины в интервальном ряду и определим показатели вариации:

№ групп	Влажность муки, %	Число проб, ед.	Влажность муки, %	Середина интервала, %	Произведение влажности муки на на число проб. в группе
А	1	2( )	3(замена открытых интервалов)	4( )	5( )
1 2 3 4	до 14,0 14,0-14,2 14,2-14,4 свыше 14,4	10 30 40 20	13,8-14,0 14,0-14,2 14,2-14,4 14,4-14,6	13,9 14,1 14,3 14,5	139 423 572 290
Итого		100	-	-	1424

В условии (графа 1) осредняемый признак – влажность муки представлен в виде интервала, причем первый и последний – открытые.

Величина открытого интервала условно принимается равной величине интервала, соседнего с открытым. Заменяем открытые интервалы: «до 14,0» и «свыше 14,4» на закрытые (графа 3 таблицы).

Заменяем интервальные значения признака на дискретные, рассчитав середину интервала каждой группы (графа 4 ) и определяем среднее значение влажности муки во всей совокупности по формуле средней арифметической взвешенной, так как сгруппированные данные представлены значениями признака в графе 4 и значениями частот в графе 2; произведение в графе 5: = = = 14, 24 (%).

Средний процент влажности по результатам наблюдения – 14,24 %.

Для характеристики наблюдения изучаемого явления исследуется степень колеблемости отдельных значений признака относительно среднего показателя. Для этого используются показатели вариации:

Влажность муки, %	Число проб, ед.	Расчетные графы
		Отклонения вариант от средней величины, % = 14,24	Квадраты отклонений	Произведения квадратов отклонений на частоты
А ( )	1(f)	2 ( - )	3	5 ∙ f
13,9	10	-0,34	0,1156	1,156
14,1	30	-0,14	0,0196	0,588
14,3	40	0,06	0,0036	0,144
14,5	20	0,26	0,0676	1,352
-	100	-	-	3,240

Среднее квадратическое отклонение d =

d = = = 0,2 , т.е. отклоняются значения признака (влажности муки) от среднего процента влажности (14,24%) в среднем на 0,2%. Дисперсия влажности муки ( ) ; = = = 0,00324 ;

Среднее квадратическое отклонение = = = 0,18.

Характеризует, что значения признака в изучаемой совокупности (влажности муки) в среднем отклоняются от среднего значения (14,24%) на 0,18% - это абсолютная мера колеблемости признака, выражается в тех же единицах измерения, что и средняя.

Коэффициент вариации V = ∙ 100% = ∙ 100% = 1,26 % показывает колеблемость значений признака относительно средней величины в процентах.

Колеблемость влажности муки в каждой пробе от среднего процента влажности незначительнее (1,26%), т.е. средняя величина ( = 14,24%) надежная, типичная для данной совокупности.

Расчет эмпирического корреляционного отношения

Эмпирическое корреляционное отношение ŋ = рассчитывается для определения тесноты связи между двумя признаками на основании аналитической группировки, рассмотрим пример по следующему наблюдению:

Завод, №п/п	Стоимость основных производственных фондов (среднегодовая), млн.руб	Товарная продукция (в сопоставимых ценах), млн.руб	Завод, №п/п	Стоимость основных производственных фондов (среднегодовая), млн.руб	Товарная продукция (в сопоставимых ценах), млн.руб
А	1	2	А	1	2
1	2,0	1,5	13	1,0	1,6
2	3,9	4,2	14	7,0	12,9
3	3,3	6,4	15	4,5	5,6
4	3,0	1,4	16	4,9	4,4
5	3,1	3,0	17	2,8	2,8
6	3,1	2,5	18	5,5	9,4
7	4,4	7,9	19	6,6	11,9
8	3,1	3,6	20	2,0	2,5
9	5,6	8,9	21	4,7	3,5
10	3,5	2,5	22	2,7	2,3
11	4,0	2,8	23	3,0	3,2
12	3,3	4,3	24	6,1	9,6

С целью изучения зависимости выпуска продукции от стоимости основных производственных фондов (технической оснащенности):

I Произвести группировку заводов по стоимости основных производствен-ных фондов, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности заводов подсчитать:

1. Число заводов;

2. Стоимость основных производственных фондов – всего и в среднем на один завод;

3. Стоимость товарной продукции – всего и в среднем на один завод.

Результаты представить в таблице, сделать выводы.

II Рассчитать эмпирическое корреляционное отношение, сделать выводы.

Решение задачи начинается с определения группировочного признака. Это стоимость основных производственных фондов, обозначим символом «x», по этому признаку необходимо провести группировку.

Определим интервалы групп. Так как требуется разделить совокупность заводов на группы с равными интервалами, то рассчитываем величину интервалов (h) по формуле: h = , где

, - максимальное и минимальное значения группировочного признака ( стоимости производственных фондов);

k – число групп;

h = = = 1,5.

Составляем интервалы групп выбирая вариант, когда «верхняя граница не входит» в интервал, кроме последней группы:

1. 1,0 – до 2,5

2. 2,5 – до 4,0

3. 4,0 – до 5,5

4. 5,5 – вкл.7,0

Составляем разработочную таблицу:

Номер группы	Группы заводов по стоимости ОПФ, млн.руб	Номера заводов Число за- водов в группе	Стоимость ОПФ, млн.руб	Готовая продукция, млн.руб
А	1	2	3	4
1	1,0 – до 2,5	1 13 20	2,0 1,0 2,0	1,5 1,6 2,5
Итого по первой группе:		3	5,0	5,6
2 А	2,5 – до 4,0 1	2 3 4 5 6 8 10 12 2	3,9 3,3 3,0 3,1 3,1 3,1 3,5 3,3 3	4,2 6,4 3,0 2,5 3,0 3,6 2,5 4,3 4
		17 22 23	2,8 2,7 3,0	2,8 2,3 3,2
Итого по второй группе:		11	34,8	36,2
3	4,0 – до5,5	7 11 15 16 21	4,4 4,0 4,5 4,9 4,7	7,9 2,8 5,6 4,4 3,5
Итого по третьей группе:		5	22,5	24,2
4	5,5 – вкл. 7,0	9 14 18 19 24	5,6 7,0 5,5 6,6 6,1	8,9 12,9 9,4 11,9 9,6
Итого по четвертой группе:		5	30,8	52,7

Составляем итоговую таблицу:

Зависимость выпуска продукции от стоимости основных

производственных фондов

Номер группы	Группы заводов по стоимости основных производствен-ных фондов, млн.руб.	Число заводов в группе	Стоимость основных производственных фондов, млн.руб.		Товарная продукция, млн. руб.
			всего по группам	в среднем на один завод	всего по группам	в среднем на один завод
А	1	2	3 ( )	4 ( = )	5 ( )	6 ( = )
1	1,0 – до 2,5	3	5,0	1,67	5,6	1,87
2	2,5 - до 4,0	11	34,8	3,16	36,2	3,29
3	4,0 – до 5,5	5	22,5	4,50	24,2	4,84
4	5,5 – вкл. 7,7	5	30,8	6,16	52,7	10,54
Итого:	-	24	93,1	3,88	118,7	4,95

Анализируя данные таблицы, сравнивая значения показателей графы 4 и графы 6, делаем вывод: с возрастанием стоимости основных производственных фондов возрастает и выпуск продукции; наиболее эффективными являются заводы со среднегодовой стоимостью производственных фондов от 5,5 млн.руб. до 7,0 млн.руб.

III Для расчета эмпирического корреляционного отношения ( условное обозначение греческой буквой ŋ «эта») определяем общую и межгрупповую дисперсии по результативному признаку «товарная продукция» (условное обозначение «у»), т.к. по факторному признаку («х») – стоимость основных производственных фондов делаем аналитическую группировку.

Формула для расчета общей дисперсии:

= , где у – значение товарной продукции каждого завода,

- среднее значение признака «товарная продукция» по всей совокупности 24-х заводов,

n – число единиц совокупности, т.е. n = 24.

Составляем таблицу для расчета общей дисперсии.

Завод № п/п	Товарная продукция, млн.руб	Расчетные графы		Завод № п/п	Товарная продукция, млн.руб	Расчетные графы
		отклоне- ние у -	квадраты отклонений			отклоне- ние у -	квадраты отклонений
А	1	2 ( = 4,95)	3	А	1	2 ( = 4,95)	3
1	1,5	-3,45	11,9025	13	1,6	-3,35	11,2225
2	4,2	-0,75	0,5625	14	12,9	7,95	63,2025
3	6,4	1,45	2,1025	15	5,6	0,65	0,4225
4	1,4	-3,55	12,6025	16	4,4	-0,55	0,3025
5	3,0	-1,95	3,8025	17	2,8	-2,15	4,6225
6	2,5	-2,45	6,0025	18	9,4	4,45	19,8025
7	7,9	2,95	8,7025	19	11,9	6,95	48,3025
8	3,6	-1,35	1,8225	20	2,5	-2,45	6,0025
9	8,9	3,95	15,6025	21	3,5	-1,45	2,1025
10	2,5	-2,45	6,0025	22	2,3	-2,65	7,0225
11	2,8	-2,15	4,6225	23	3,2	-1,75	3,0625
12	4,3	-0,65	0,4225	24	9,6	4,65	21,6225
Итого:	-	-	74,1500	-	-	-	187,6900
Всего:	-	-	-	24	-	-	261,84

т.е. = = 10,91.

Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

= , где - среднее значение товарной продукции в каждой группе,

- общая средняя (т.е. среднее значение продукции по всей совокупности 24-х заводов,

f – число заводов в каждой группе.

Составляем таблицу для расчета внутригрупповой дисперсии.

Номер группы	Среднее значение товарной продукции в группе, млн.руб.	Число заводов в группе, ед-ц	Расчетные графы
			отклонение	квадраты отклонений	произведение квадратов отклонений на частоты
А	1 (	2 (f)	3 ( = 4,95)	4	5 [ ∙ f]
1 2 3 4	1,87 3,29 4,84 10,54	3 11 5 5	-3,08 -1,66 -0,11 5,59	9,4864 2,7556 0,0121 31,2481	28,4592 30,3116 0,0605 156,2405
Итого:	-	-	-	-	215,0718

Межгрупповая дисперсия = = 8,96.

Следовательно, эмпирическое корреляционное отношение

= = = ≈ 0,91.

Данное значение эмпирического корреляционного отношения находиться в интервале «0,9 – 0,99» таблицы Чеддока; делаем вывод: сила связи между стоимостью основных производственных фондов и объемом выпуска товарной продукции по изученной совокупности заводов очень высокая.

При последующем изучении статистики студенты осваивают другие методы изучения взаимосвязи явлений: корреляционные связи, уравнения регрессии и другие.

В данном пособии рассматриваются некоторые аспекты статистической группировки, относительных величин, средних величин, показателей вариации, вариации отдельных признаков, характеризующих то или иное явление.

Изучение показателей анализа рядов динамики, основных тенденций развития ряда, индексный метод анализа различных явлений и другие темы будут рассмотрены в следующих работах.