3.3. Квадратичний фазовий зв’язок

Фаз. зв'язок існує за рахунок нелінійних взаємодій між гармонійними компонентами. Три гармоніки з частотами k і фазами k, k = 1,2,3 - вважаються квадратично пов'язаними, якщо 3 = 1 + 2 і 3 = 1 + 2. Квадратичний фазовий зв’язок (зв'язок у сумі та різниці частот) присутній тоді, коли Сигнал передається через пристрій зведення до квадрат, наприклад, і можуть бути виявлені

з біспектру.

Розглянемо сигнал х (п), яка являє собою суміш гармонік з незалежними фазами, та квадратично пов'язаними синусоїдами, тобто

Де ’s - всі різні, і , і - всі i.i.d.( identically distributed random variables рівномірно розподілені випадкові величини) і рівномірно розподілені на

Потім, третього порядку кумулянт процесу x(n) має вигляд [66]

А діагональний зріз має вигляд:

2-D FT для (1-164) дає біспектр

Очевидно, що статистично значима(визначена)(не надлишкова) область біспектру дає піки тільки

на фазі і частотіи зв'язаних bifrequencies(бічастот) . FT діагонального зрізу в (1-165), з іншого боку, дає піки на кожній з трьох частот, які беруть участь у фазовому-зв'язку.

Розглянемо () з Nq = 1. Опускаючи непотрібні індекси, маємо

де Зазначимо, що діагонал. зріз кумулянта третього порядку виражений у вигляді суми трьох гармонік. Опираючись на матеріал з моделі AR

для гармонік, відзначимо, що C3x() задовольняє само-керовані AR(6) моделі, чиї корені: exp(j2k), k = 1, 2, 3., к = 1, 2, 3. Якщо оцінити многочлен АR, ми можемо обчислити параметричний біспектр

Оцінка Параметричного біспектру здійснюється в qpctor.

Графіки сингулярних значень

Рис.6 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(left,18,12);

Рис.7 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(right,18,12);

Зауважимо, що 1 + 2, що відповідає третьому піку в амплітуді спектру, так що ми можемо зробити висновок, що три з чотирьох гармонік - квадратично пов'язані за фазою.

Графік сингулярних значень показує шість значних сингулярних значень, відповідних одному квадратично поєднаному триплету, як і у випадку спектра потужності (гармоніки з шумом), переоцінка (перебільшення) числа гармонік зазвичай призводить до кращого результату, в даному випадку ми використовували AR порядку 12.

Рис.8 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(LeftBackwardImagined,18,12); Maximum of bispectrum: B(0,0) = 16285631.0028

Рис.9 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(RightBackwardImagined,18,12)/ Maximum of bispectrum: B(0,0) = 182719254.6834

4. Дослідження та аналіз сигналів уявних рухів.

RightBackwardImagined -уявний рух павої руки назад:

n=25

y=filter([1,-2], [1,-1.5,0.8],RightBackwardImagined);

for k=-n:n;

cmat(:,k+n+1)=cumest(y+RightBackwardImagined,3,n,128,0,'biased',k);

end

subplot(1,2,1), mesh(-n:n,-n:n,cmat)

subplot(1,2,2),contour(-n:n,-n:n,cmat,8)

Рис. 10 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightBackwardImagined).

LeftBackward1- дійсний рух правої руки:

n=25

y=filter([1,-2], [1,-1.5,0.8],LeftBackward1);

for k=-n:n;

cmat(:,k+n+1)=cumest(y+LeftBackward1,3,n,128,0,'biased',k);

end

subplot(1,2,1), mesh(-n:n,-n:n,cmat)

subplot(1,2,2),contour(-n:n,-n:n,cmat,8)

Рис. 11 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftBackward1).

LeftLeg – ліва нога:

Рис. 12 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftLeg – ліва нога).

Рис. 13 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightLeg - права нога).

Рис. 14 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftForwardImagined - уявний рух лівої руки вперед).

Рис. 15 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightForwardImagined - уявний рух лівої руки вперед).

Рис. 16 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftForward2 - дійсний рух лівої руки вперед).

Рис. 17 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightForward2 - дійсний рух правої руки вперед).