1.2. Зсув і дисперсія алгоритму оцінювання

На практиці, при оцінці семіінваріантів і поліспектру використовуємо дані. Ці оцінки є самі по собі, випадковими, і характеризуються своїм зсувом і дисперсією. Нехай x(n) позначає стаціонарний процес, ми вважаємо, що всі відповідні статистики існують і мають кінцеві значення. Позначимо через S деякі статистики, засновані на x(n). Нехай позначає оцінку статистики на основі N спостережень, Оскільки x(n) є випадковим процесом, оцінка є також випадковою, очевидно, не буде рівна s.

Оцінка - хороша, якщо знаходиться "поруч" з s. Це поняття уточнюється шляхом застосування понять зсуву і спроможності.

Зсув оцінки визначається як , оцінка називається незсуненою, якщо зсув дорівнює нулю, тобто

Часто це справедливо тільки в цьому випадку, якщо , в кожному випадку коли оцінка вважається асимптотично незсуненою.

Зсув, сам по собі, не в повній мірі характеризує оцінку. Якщо оцінка хороша, ми очікуємо, що буде приймати значення навколо істинного значення s. Природною мірою розкиду -це квадратне відхилення навколо істинного значення s

Оцінка називається (асимптотично) спроможною, якщо квадратичне відхилення прамує до нуля, так як Цей стан іноді називають середньоквадратично спроможною. Спроможна оцінка обов'язково має бути (асимптотично) незсуненою.

Спроможна оцінка в математичній статистиці – це точкова оцінка, що збігається за ймовірністю до оцінюваного параметра.

1.3. Переваги, що дає HOSA - аналіз для дослідження ЕЕГ сигналів мозок – комп’ютер.

Гаусовість(Gaussianality) і умова мінімальної фази(minimum-phase) в ЕЕГ сигналах, тобто амплітуди ЕЕГ сигналів розподілені за нормальним законом, їх статистичні властивості не змінюються з плином часу, і їх частотні компоненти не корельовані.

При цих припущеннях сигнал ЕЕГ розглядається як лінійне накладення статистично незалежних синусоїдальних або інших хвильових компонентів, і тільки оцінки частоти і потужності враховуються, в той час як фазова інформація, як правило, ігнорується. У дійсності, однак, ЕЕГ сигнали генеруються типовою нелінійною системою, що складається з, наприклад, пост-синаптичних нейронів, чиї потенціали дії засновані на тому, що мембранний потенціал більше порогового значення. Таким чином, ЕЕГ сигнали матимуть багато синусоїдальних компонентів різних частот, взаємодіючих нелінійно, і виробляючи один або кілька синусоїдальних складових на сумарних та різницевих частотах [18], які не можуть бути повністю охарактеризовані автокореляційноюї функцією, як це робиться AR моделями або PSD методами оцінки.

Визначення та властивості кумулянт третього порядку і біспектру

Для негауссового стаціонарного випадкового процесу {X (T)} третього порядку його кумулянти третього порядку в дискретній формі визначаються виразом:

де E - очікування над процесом помножується на 2 версії запізнення цього ж процесу. Відповідний біспектр визначається як 2D перетворення Фур'є кумулянт третього порядку:

Якщо випадковий процес x(t) є гаусовим, то таким чином, негаусів процес може бути виявлений цією

властивістю. Якщо де W (T) - гаусів і не залежить від X (T), то Тому, кольоровий або білий шум пригнічуються і біспектр негаусового сигналу

може бути відновлений. При використанні статистик високого порядку, припущення мінімальної фази, яке необхідне коли процес характеризується лінійною моделлю, заснованою на гаусовості або використовуються статистики тільки другого порядку, може бути видалене. Крім того, кумулянти більш високого порядку можуть свідчити про нелінійність, в той час як автокореляційна послідовність - ні. Ці властивості були б дуже корисні в якості функцій для класифікації ЕЕГ сигналу.