Средние показатели
Средняя величина является одной из самых распространенных форм статистических показателей. Она выражает типичные черты однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.
Одной из задач статистики является характеристика уровня жизни населения в целом. В частности, уровень доходов населения в разрезе различных социальных групп. Каждая из социальных групп включает огромное число единиц и сравнение доходов каждого рабочего, служащего невозможно. Нет смысла сравнивать и суммарные доходы по социальным группам, т.к. в них различное число единиц. Здесь удобно использовать средние показатели – среднюю величину доходов на одного человека или на одну семью по каждой социальной группе. Средняя величина отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.
В средней величине взаимопогашаются отклонения значений признака у отдельных единиц совокупности, вызванные действием случайных факторов. Это свойство средней величины связано с однородностью статистической совокупности. Например, средний уровень доходов социальной группы – служащих, не будет адекватно отражать реальную ситуацию, т.к. вся совокупность служащих включает в себя служащих государственных, акционерных предприятий, органов управления, сферы науки, культуры, образования и является неоднородной.
Поэтому «метод средних» применяется в сочетании с «методом группировок». В результате получим групповые средние.
Числитель здесь представляет определяющий показатель средней.
Средняя величина имеет следующие виды:
- средняя арифметическая
- средняя гармоническая
- средняя геометрическая
- средняя квадратичная
Средняя арифметическая и ее свойства
Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних величин.
Сначала рассмотрим простую среднюю арифметическую. Она используется тогда, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.
Например:
Преподаватели кафедры |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Возраст |
39 |
40 |
54 |
61 |
27 |
53 |
21 |
Чтобы определить средний возраст сотрудников нужно:
Или в виде формулы:
средняя величина
исследуемого явления
вариант осредняемого
признака
n – объем совокупности.
Теперь рассмотрим взвешенную арифметическую среднюю. В этом случае расчет производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.
Например, продажа долларов на ММВБ с 11 до 11-10:
Сделка |
Количество $ |
Курс продажи |
1 |
1000 |
24,3 |
2 |
500 |
24,2 |
3 |
1500 |
24,1 |
Определим средний курс продажи:
вес
го
варианта
Здесь вес является абсолютной величиной, но может быть и относительной.
В 1 – 5 сделке – 1000 долларов – 33 % от общей суммы
Во 2 – ой сделке – 500 долларов – 17,5 % от общей суммы
В 3 – ей сделке – 1500 долларов – 50,5 % от общей суммы
Тогда
При расчете средней по интервальному ряду для необходимых вычислений переходят к серединам интервалов.
Распределение работников по возрасту
Возраст, лет |
Число работников |
До 25 25 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 и более |
7 13 38 42 16 5 |
Итого |
121 |
Для определения среднего возраста находим середины возрастных интервалов:
22,5; 27,5; 35,0; 45,0; 55,0; 65,0
Далее:
Свойства средней арифметической
1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:
Это легко видно из формулы средней:
2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:
Опять же из:
3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С.
Т.е. сумма квадратов отклонений информационных значений признака от произвольного числа С больше суммы квадратов отклонений от средней арифметической.
4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на туже величину:
5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится в А раз.
6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.
Например, если веса, выражения в частях 0,23, то умножив все веса на 100 получим их в %:
