Тема 5-2011-2012. Показатели вариации

Вопросы

1. Понятие вариации. Абсолютные и средние показатели вариации.

2. Показатели относительного рассеивания

3. Виды дисперсии

4. Анализ данных. Базовые показатели. Блочные диаграммы.

5. Дисперсия альтернативного (качественного признака)

Вопрос 1. Понятие вариации. Абсолютные и средние показатели вариации

Различие (степень колебания) отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Вариация – количественное изменение величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которое обусловлено перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Степень близости данных отдельных единиц х_i к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации

Размах вариации R - это разность между наибольшим и наименьшим значением вариантов.

.

Применение понятий.

Размах выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска, вычислим, используя следующий упорядоченный массив

-6,1 -2,8 -1,2 -0,7 4,3 5,5 5,9 6,5 7,6 8,3 9,6 9,8 12,9 13,1 18,5

Размах позволяет измерить общий разброс данных. Его слабость в том, что он никак не учитывает, как именно распределены данные между минимальным и максимальным элементами.

Межквартильный размах (средний размах) – это разность между третьим и первым квартилями выборки.

, где Q₁ = (n+1)/4 Q₃ = 3(n+1)/4

Эта величина позволяет оценить разброс 50% элементов и не учитывать влияние экстремальных элементов.

Применение понятий.

Межквартильный размах выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска, вычислим, используя следующий упорядоченный массив

-6,1 -2,8 -1,2 -0,7 4,3 5,5 5,9 6,5 7,6 8,3 9,6 9,8 12,9 13,1 18,5

Эта величина характеризует размах половины выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с высоким уровнем риска. Интервал, ограниченный числами 9,8 и -0,7 часто называют средней половиной.

Суммарные количественные характеристики, такие как медиана, первый и третий квартили, межквартильный размах, на которые не влияют выбросы, называются устойчивыми показателями.

Размах и межквартильный размах позволяют оценить общий и средний разброс значений, но они не учитывают как именно распределены данные. Дисперсия и стандартное (среднеквадратическое) отклонение лишены этого недостатка.

Средние показатели вариации

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учёта знака этих отклонений

.

Дисперсия ² (средний квадрат отклонений) определяется по формуле:

,

Чем меньше дисперсия, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представленную совокупность.

Среднее квадратическое отклонение  может быть найдено таким образом:

.

Дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение позволяют оценить степень колебания данных вокруг среднего значения.

Интерпретация понятий

Дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение позволяют оценить разброс данных вокруг среднего значения, т.е. сколько элементов выборки меньше среднего, а сколько – больше. Дисперсия обладает ценными математическими свойствами. Однако ее величина представляет собой квадрат единицы измерения (квадратный %, квадратный доллар и т.д.). Поэтому естественной оценкой дисперсии является стандартное отклонение, которое выражается в обычных единицах измерения - %, доллары …

Стандартное отклонение позволяет оценить величину колебания значений вокруг среднего значения. Практически во всех ситуациях наблюдаемые величины лежат в интервале плюс-минус одно стандартное отклонение от среднего значения. Поэтому, зная среднее арифметическое и среднее квадратическое (стандартное) отклонение можно определить интервал, которому принадлежит основная масса данных.

Применение понятий

Стандартное отклонение доходности 15 ВФ с очень высоким уровнем риска равно 6,62. Это значит, что доходность основной массы фондов отличается от среднего значения не более чем на 6,62%.

От 6,08-6,62=-0,54 до 6,08+6,62=12,7 в этом интервале есть 8 из 15 ВФ (53%)

Суммируем вышесказанное

• Чем больший разброс имеют данные, тем больше их размах, межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение

• Чем более сконцентрированы данные, или однородны, тем меньше их размах, межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение

• Если все элементы выборки равны между собой (т.е. разброс отсутствует), межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение равны нулю.

• Ни одна из оценок изменчивости данных (размах, межквартильный размах, дисперсия и стандартное отклонение) не может быть отрицательной.

Применение понятий

Сравним разброс доходности ВФ с разными уровнями риска, вычислив отклонение для каждой из этих категорий.

Степень риска	Стандартные отклонения
Очень низкий	2,7
Низкий риск	3,58
Средний риск	4,18
Высокий риск	4,54
Очень высокий	6,62

Далее запишем, как находятся основные показатели относительного рассеивания.