Тема 4. Линейное n – мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг матрицы и системы векторов
Множество n-мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, называется
+—n-мерным векторным пространством (R(n))
Упорядоченная
система из n
действительных чисел
называется
+—n-мерным вектором
Коэффициенты при неизвестных всякого линейного уравнения с n неизвестными образуют
+—n-мерный вектор
Суммой векторов
и
называется вектор
+—
Произведением вектора на число k называется вектор
+—
Скалярным произведением двух векторов и называется действительное число, равное
+—
Длиной вектора или его модулем называется действительное неотрицательное число, равное
+—
Вектор
называется линейной комбинацией векторов
,
если существуют такие числа,
,
при которых выполняется соотношение
+—
Система векторов
(k
2)
называется линейно зависимой, если
+—хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных
Система векторов
(k
2)
является линейно зависимой, если
существуют такие числа
,
не все равные нулю, при которых имеет
место равенство
+—
Если соотношение
возможно лишь в случае, когда
,
то система векторов называется
+—линейно независимой
Если некоторая
подсистема
(r
k)
системы векторов
линейно
зависима, то вся система
+—линейно зависима
Всякая система векторов, содержащая два равных вектора, является
+—линейно зависимой
Если система векторов линейно независима, то всякая ее подсистема
+—линейно независима
Всякая система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, является
+—линейно зависимой
Если
–
линейно зависимая система векторов, а
(rn)
–
такая ее линейно независимая подсистема векторов, к которой нельзя присоединить ни одного вектора системы, не нарушив линейной независимости, то эта подсистема называется
+—максимальной линейно независимой
Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор является
+—линейно зависимой
Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему векторов, называется
+—рангом системы
Максимальное число
линейно независимых векторов системы
равно рангу матрицы
,
составленной
+—из компонент векторов этой системы
Рангом системы векторов называется число векторов, входящих в любую
+—максимальную линейно независимую подсистему
Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно
+—максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы
Любая совокупность n+1 векторов n–мерного векторного пространства
+—линейно зависима
Максимальное число линейно независимых строк матрицы
+—рангу этой матрицы
Базисом n–мерного векторного пространства называется любая совокупность
+—n линейно независимых векторов этого же пространства
Любой вектор n–мерного векторного пространства можно представить как
+—линейную комбинацию векторов базиса
Система
называется системой
+—единичных векторов n–мерного векторного пространства
называется
+—длиной вектора
Числа
,
определяющие вектор
,
называются
+—компонентами вектора
Любой вектор n–мерного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса
+—единственным образом
Рангом матрицы A называется число r такое, что у матрицы существует
+—хотя бы один отличный от нуля минор r–го порядка и равны нулю все миноры более высокого порядка(r+1)
Если r-ранг матрицы А, то отличный от нуля минор r–го порядка называется
+—базисным минором матрицы
Какое число линейно независимых векторов системы равен рангу матрицы А, составленной из компонент векторов этой системы?
+—максимальное
Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы
+—рангу этой матрицы
Система векторов
называется линейно независимой, если
соотношение
справедливо лишь в случае, когда
+—
Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистем векторов, называется
+—рангом системы
Указать совокупность векторов n – мерного векторного пространства, которая заведомо является линейно зависимой
+—совокупность n+1 векторов
Для линейной независимости системы из n n – мерных векторов необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из компонент векторов этой системы
+—был отличен от 0
Система из пяти 4 – х мерных векторов
+—линейно зависима
Если
,
,
то произведение
равно +—5
Система векторов
,
,
+—образует
базис
Компоненты вектора
в базисе
,
,
где
,
,
равны +—(3;-1)
Векторы
и
равны между собой, если
+—
Векторы
образуют
+—линейно зависимую систему
Система векторов
+—образует базис
Базисом - мерного пространства является
+—любая группа из линейно независимых векторов
Ранг матрицы равен числу ее
+—линейно независимых строк
Рангом системы векторов называется число
+—векторов в ее любом базисе
Ранг матрицы не изменится, если
+—поменять местами два ее столбца
Если все миноры
-
го порядка матрицы
равны 0, то все ее миноры
порядка
+—равны 0
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этих уравнений
+—имеет ранг, равный рангу расширенной матрицы
Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число
+—не меняет ранга матрицы
Умножение строки матрицы на некоторое число
+—не меняет ранга матрицы