1.2. Моделирование тенденции временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда.

Простейшими функциями, применяемыми для описания тренда, являются следующие:

- линейная функция ;

- показательная функция ;

- парабола ;

- полиномы третьего и более высоких порядков

;

- гипербола ;

- экспоненциальная функция ;

- степенная функция .

Линейная функция используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Показательная функция используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Парабола используется в случае, если ряды динамики изменяются с постоянными цепными темпами прироста.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов (МНК), в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическим и эмпирическим уровнями:

,

где: - выровненные (расчетные) уровни в период t;

- фактические уровни в период t;

n – количество периодов.

Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации. Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.[14]

Выделим ограничения на использование моделей аналитического выравнивания уровней динамического ряда.

• динамические ряды, к которым применяется аппроксимация, должны быть достаточ­но длинными;

• если условия формирования уровней ряда изменялись в течении рассматриваемого периода, то расчет параметров уравнения не следует вести по данным за весь рассматриваемый период времени. В этом случае целесообразно разбить ряд динамики на ряд этапов;

• применение аппроксимации наиболее целесообразно в случае медленно и плавно меняющегося уровня;

• аппроксимация как метод моделирования практически не адаптируется к изменяющимся условиям формирования уровней ряда;

• при появлении новых данных построение модели должно быть проведено заново.

1 .3. Моделирование сезонных колебаний

К сезонным колебаниям относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутри годичных изменений, т.е. явления, более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

Существует несколько подходов к моделированию временных рядов, содержащих сезонные колебания. Основными являются расчет сезонной компоненты методом скользящей средней и использование фиктивных переменных.

Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Y = T + S + E (1.9)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент.

Общий вид мультипликативной модели:

(1.10)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. В этом случае длина скользящей средней должна быть равна длине цикла.

2. Расчет значений сезонной компоненты S. Для этого из исходных уровней вычитают значения скользящей средней (для аддитивной модели) или находят отношения фактических уровней к соответствующим значениям скользящей средней (для мультипликативной модели). В результате за ряд лет для каждого месяца (квартала) имеем ряд таких разностей (отношений). Если для одинаковых месяцев (кварталов) эти разности (отношения) примерно одинаковы, то сезонная компонента находится как среднее значение или медиана из полученных разностей (отношений) для соответствующего месяца (квартала). В случае мультипликативной модели полученные отношения называются индексами сезонности.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т + Е) в аддитивной или ( ) в мультипликативной модели. Для этого в случае аддитивной модели сезонная компонента вычитается из соответствующего уровня ряда, а в мультипликативной модели уровни ряда делят на соответствующие индексы сезонности.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или ( ) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или ( ) [3, c. 322].

Еще один метод моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, - построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные - фактор времени и три фиктивных переменных. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна 1 для данного периода и 0 для всех остальных периодов.

Для временного ряда, содержащего циклические колебания периодичностью k , модель регрессии с фиктивными переменными будет иметь вид:

y_t = a + b · t + c₁x₁ + … + c_jx_j + … + c_k-1x_k-1 + ε_t, (1.11)

где:

Параметры данной модели определяются обычным методом наименьших квадратов.

Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности модель (1.11) есть аналог аддитивной модели временного ряда, поскольку фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний - наличие большого количества переменных. Если, например, строить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, то такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии.