3.Уравнение неразрывности в плоской естественной системе координат для установившегося движения.

В аэродинамике течения называются плоскими, если они удовлетворяют двум основным требованиям: а) скорости во всей области течения параллельны одной неизменной плоскости; б) на любом перпендикуляре к этой плоскости во всех его точках газодинамические величины одинаковы. При соблюдении этих условий достаточно рассмотреть поток в одной плоскости, выбрав в ней прямоугольную систему координат x, y.

Уравнение неразрывности в декартовой системе координат

, где ;

В соответствии с формулами (7) и (8) имеем:

или

, разделим полученное уравнение на и получим

(9)

4.Приведение уравнений газодинамики для плоского установившегося безвихревого течения идеального газа к характеристическому виду.

Плоская естественная система координат (рис.1), уравнение неразрывности

Уравнение движения в проекции на касательную и нормаль

(10)

(11)

движение безвихревое

(12) (13)

(13) (14)

; (15)

(16), так как , то умножив (16) на и введя число Маха, получим

(17)

Добавим соотношение (18) и изоэнтропическое соотношение

(19)

Имеем два дифференциальных уравнения и одно алгебраическое для определения (учтем, что = ).

Применим метод характеристик. Так как выполняются соотношения (2) и (3), то следует воспользоваться уравнением (4). Умножим уравнение (18) на и сложим с уравнением (17).

(20)

Чтобы выполнялось соотношение (4₁), нужно найти из условия (21),

следовательно , значит (22)

Следовательно, исходная система будет гиперболической только для сверхзвуковых течений .

Итак имеем характеристики первого и второго семейств, отвечающих значениям

и .

Первое семейство ( )	Второе семейство ( )
Условие на характеристике 1-го семейства (23) Уравнение характеристики 1-го семейства (24)	Аналогично, условие на характеристике 2-го семейства (25) Уравнение характеристики 2-го семейства (26)

Геометрический смысл производной - тангенс угла наклона касательной к кривой S(линия тока)

(27) (28)

Характеристика 1-го семейства наклонена под углом к линии тока, а характеристика 2-го семейства - под углом к линии тока. Так как линия тока и следовательно вектор скорости наклонены под углом к оси х, то уравнения характеристик 1-го и 2-го семейств в системе координат x,y запишутся в виде (см.рис 2)

Проинтегрируем теперь уравнения (23) и (25) выражающие условие на характеристиках 1-го и 2-го семейств.

Обозначим через интеграл (30). Тогда (31).

Используя уравнение (19), найдем функцию

Приведем этот вывод:

5.Определение функции Прандля-Майера

Функция Прандля-Майера названа функцией, дифференциал которой равен

Чтобы проинтегрировать уравнение (31), следует вначале выразить скорость через число Маха M. Из интеграла Бернулли ;(32), где , получим (33)

Введем новую переменную (34) и прологарифмируем уравнение (33)

(35), а затем продифференцируем уравнение (35)

(36), подставив уравнение (36) в исходное соотношение (31) получим

;(37), где ;

Разложим дробь в правой части уравнения (37) на простейшие

(38)

Приравнивая правые и левые части соотношения (38), получим

(39), подставив равенство (39) в уравнение (37), будем иметь

(40), интегрируя соотношение (40) и возвращаясь к исходной переменной - числу Маха, получаем (41)

Функция Прандля-Майера определима только для М>1. При значение асимптотически стремится к , при значение (см. рис. 3)

(рис.3)

Уравнения (23) и (25) с учётом соотношения (31) примут вид

, (42) - для характеристик 1-го семейства

, (43) - для характеристик 2-го семейства

или (44)

Так как производная во всём поле течения равно нулю, то имеем два интеграла уравнения (34).

(45) для характеристик 1-го семейства,

(46) для характеристик 2-го семейства,

где и - постоянные на соответствующих характеристиках.

Уравнения движения для плоского установившегося безвихревого течения идеально газа при М>1 сводящийся к определению чисел Маха и углов наклона вектора скорости _k к оси x на характеристиках 1-го и 2-го семейств из соотношений:

Характеристики 1-го семейства	Характеристики 2-го семейства
(47) (48) условия на характеристиках 1-го и 2-го семейств
(49) (50) условия на характеристиках 1-го и 2-го семейств

где - угол наклона к вектору скорости к оси x;

(51) –угол наклона характеристики к вектору скорости;

(52) .

Остальные параметры находятся из изоэнтропических соотношений

(53)

(54)

(55)

(56)