Последовательность проверочного расчета валов на усталостную и статическую прочность

(см. решение примера. 41)

Исходные данные:

1. Нагрузка на вал. 2. Условия работы. 3. Чертеж узла.

Последовательность расчета:

1. По чертежу узла составляют расчетную схему.

2. Определяют силы, действующие на вал.

3. Строят эпюры изгибающих моментов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

4. Строят эпюру крутящих моментов,

5. В соответствии с формой вала и эпюрами моментов выявляют предположительно опасные сечения, подлежащие проверке на усталостную прочность.

6. Для каждого из указанных сечений по формуле (11.2) определяют расчетные коэффициенты запаса прочности n и сравнивают с допускаемым значением [n]. При этом должно соблюдаться условие n>=[n].

7. Если вал в период работы испытывает кратковременные перегрузки, то наиболее нагруженные сечения его проверяют на статическую прочность по формуле (11.5).

В зависимости от результатов проверочного расчета конструкцию вала оставляют без изменения или в нее вносят исправления. В последнем случае проверочный расчет повторяют.

Пример 41. По данным примера 40 проверить вал редуктора на усталостную и статическую прочность (см. рис. 4.2 и 11.9, а). Диаметр делительной окружности зубчатого колеса d_д2=256 мм. Сила давления цепи на вал Q=2713н и направлена под углом θ=30^о к горизонту. Нагрузка на вал нереверсивная, постоянная. Работа спокойная. В период пуска кратковременная (пиковая) нагрузка в 1,8 раза больше номинальной.

Зубчатое колесо вращается по часовой стрелке, если смотреть на него со стороны звездочки. (Начало расчета см. в решениях примеров 10; 18; 38; 39 и 40.)

Решение.

1. Составляем расчетную схему вала (рис. 11.9, б) в соответствии с конструкцией, принятой в примере 40.

2. Определяем силы, действующие на вал (см. рис. 11.9, б). Окружное усилие на колесе

P=2М/d_д2=2·189,5·10³/256=1486 н.

Радиальное усилие на колесе (формула 6.32)

T = P·tg α=1486·tg 20^о=540 н.

Силу давления цепи на вал Q раскладываем на составляющие в вертикальной и горизонтальной плоскостях:

Q_в = Q sin θ = 2713 sin 30^о = 1357 н,

Q_г = Q cos θ =2713 cos 30^о = 2352 н.

Рис. 11.9. К расчету вала

3. Строим эпюры изгибающих моментов.

В вертикальной плоскости (рис. 11.9, в):

а) Определяем опорные реакции

ΣМ_Б =0; - Q_В · 70 - Р·60 + R_Гв ·120 = 0;

R_Гв = (Q_В·70 + Р·60)/120 = (1357·70 + 1486·60)/120 = 1534 н;

ΣМ_Г =0; - Q_В · 190 + Р·60 + R_Бв ·120 = 0;

R_Бв = (Q_В·190 - Р·60)/120 = (1357·190 - 1486·60)/120 = 1405 н.

б) Проверяем правильность определения реакций:

ΣY = Q_в - R_Бв - Р+ R_Гв = 1357 - 1405 – 1486 + 1534 = 0

— реакции найдены правильно.

в) Строим эпюру изгибающих моментов М_ив, для чего определяем их значения в характерных сечениях вала:

в сечении А М_ив = 0;

в сечении Б М_ив = Q_в · 70 =1357·70=94,9·10³ н·мм;

в сечении В М_ив = R_Гв ·60 =1534·60=92 · 10³ н·мм;

в сечении Г М_ив = 0.

В горизонтальной плоскости (рис. 11.9, г):

а) Определяем опорные реакции:

ΣМ_Б =0; - Q_Г · 70 + Т·60 + R_Гг ·120 = 0;

R_Гг = (Q_Г·70 - Т·60)/120 = (2352·70 - 540·60)/120 = 1102 н;

ΣМ_Г =0; - Q_Г · 190 - Т·60 + R_Бг ·120 = 0;

R_Бг = (Q_Г·190 + Т·60)/120 = (2352·190 - 546·60)/120 = 3994 н.

б) Проверяем правильность определения реакций:

ΣХ = Q_Г - R_Бг + Т+ R_Гг = 2352 - 3994 + 540 + 1102 = 0

— реакции найдены правильно.

в) Строим эпюру изгибающих моментов М_ИГ, для чего определяем их значения в характерных сечениях вала:

в сечении А М_иг = 0;

в сечении Б М_иг = Q_г · 70 =2352·70=164,6·10³ н·мм;

в сечении В М_иг = R_Гг ·60 =1102·60= 66,1 ·10³ н·мм;

в сечении Г М_иг = 0.

4. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 11.9, д). Передача вращающего момента происходит вдоль оси вала от середины ступицы колеса до середины ступицы звездочки (см. рис. 11.9, а)

М_К = М = 189,5 10³ н·мм.

5. В соответствии с формой вала и эпюрами М_и и М_к предположительно опасными сечениями вала, подлежащими проверке на усталостную прочность, являются сечения I-II, II-II и III-III, в которых имеются концентраторы напряжений и возникают наибольшие моменты.

6. Определяем запас усталостной прочности в сильно нагруженном сечении II-II, в котором концентрация напряжений обусловлена канавкой с галтелью (см. рис. 11.4, а) и посадкой внутреннего кольца подшипника с натягом. Эго сечение расположено на расстоянии 15 мм от середины подшипника.

а) Определяем изгибающие моменты в сечении II - II.

Из рис. 11.9, в М_{ив II} = Q_В · 85- R_Бв · 15 = 1357· 85 - 1405· 15 = 94,2 10³ н·мм.

Из рис. 11.9, г M_{иг II} = Q_Г · 85 - R_Бг ·15 = 2352 ·85 - 3994· 15= 140 ·10³ н·мм.

Суммарный изгибающий момент в сечении II - II

н·мм.

б) Согласно эпюре крутящий момент в сечении II - II М_к = 189,5 10³ н·мм.

в) Определяем номинальные напряжения в сечении 11 — 11.

Напряжения изгиба

σ_и =М_{и II}/W= М_{и II}/(0,1d₁³)=168,6·10³/(0,1·40³)=26,3 н/мм².

В сечении II-II отсутствуют продольные силы, следовательно, нормальные напряжения в этом сечении изменяются по симметричному циклу с амплитудой

σ_а = σ_и = 26,3 н/мм²; σ_m=0.

Напряжения кручения

τ_к =М_к/W_к= М_к/(0,2d₁³)=189,5·10³/(0,2·40³)=14,8 н/мм².

При отнулевом цикле изменения касательных напряжений

τ_а = τ_m = τ_к/2=14,8/2=7,4 н/мм².

г) В сечении II-II два концентратора напряжений: канавка с галтелью и посадка с натягом. Согласно примечаниям к табл. 11.1 в расчет принимаем концентрацию напряжений от посадки внутреннего кольца подшипника, для которой k_σ=2,4 и k_τ=1,8.

По табл. 11.2 ε_σ=0,88, ε_τ=0,81.

д) Определяем коэффициенты запаса прочности вала в сечении II-II по нормальным и касательным напряжениям.

По формуле (11.3) определяем коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям

.

По формуле (11.4) определяем коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям

,

где τ_-1 =0,58σ_-1 =0,58·253= 147 н/мм², ψ_τ=0,05 (см. выше).

Расчетный коэффициент запаса прочности вала в сечении II-II (формула 11.2)

.

Усталостная прочность вала в сечении II — II обеспечена.

7. Проверяем статическую прочность вала в сечении II—II.

а) В период пуска кратковременная (пиковая) нагрузка в 1,8 раза больше номинальной, следовательно, в сечении II—II возникают пиковые изгибающий и крутящий моменты:

М_{и пик II} = 1,8M_{и II} = 1,8·168,6·10³=303·10³ н·мм;

М_{к пик II} = 1,8M_{к II} = 1,8·189,5·10³=340·10³ н·мм.

б) Расчетные нормальное и касательное напряжения в сечении II—II в период пуска:

σ_{мах II} =М_{и пикII}/W= М_{и пикII}/(0,1d₁³)=303·10³/(0,1·40³)=47,3 н/мм².

τ_{к II} =М_{к пикII} /W_к= М_{к пикII} /(0,2d₁³)=340·10³/(0,2·40³)=26,3 н/мм².

в) Предельное допускаемое напряжение для стали 45

[σ]_пред=0,8σ_τ=0,8·294=235 н/мм².

г) По формуле (11.5) эквивалентное напряжение

.

Статическая прочность вала в сечении II — II обеспечена.

Проверочный расчет вала на усталостную и статическую прочности в сечениях I — I и III — III предлагается студентам произвести самостоятельно.

Задача 38. По данным примера 41 определить коэффициент запаса усталостной прочности вала для сечения III-III под серединой зубчатого колеса.

О т в е т. n_III = 5 43.

Контрольные вопросы

1. Объясните, для чего при расчете вала строят эпюры изгибающих и крутящих моментов?

2, Какие сечения вала предположительно опасны?

3. Укажите конструктивные и технологические способы повы- шения усталостной прочности валов.

4. В каких случаях вал проверяют на статическую прочность?

3АНЯТИЕ 46