45. Прямой метод Ляпунова.

Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости систем высокого порядка, как линейных, так и нелинейных, стационарных и нестационарных могут быть получены по методу А.М. Ляпунова ,в инженерной практике стал применяться после 1960 г.

При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова, именуемым также второй методой Ляпунова, предполагается использование непрерывной скалярной функции переменных состояния V(x) совместно с уравнениями состояния

при i = 1, 2, ... , n, (10.1)

где fi - нелинейные функции произвольного вида, удовлетворяющие условию

f1 = f2 = ... = fn = 0 при x1 = x2 = ... = xn = 0, (10.2)

так как в установившемся состоянии все отклонения и их производные равны нулю. Чтобы исследовать устойчивость по Ляпунову, необходимо подобрать некоторую знакоопределенную функцию V(x) и вычислить производную по времени от этой функции W(x).

Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области в окрестности начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.

Функция V называется знакопостоянной (полуопределенной), если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Любая функция

V(x) = V(x1, x2, ..., xn ), (10.3)

тождественно обращающаяся в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0, называется функцией Ляпунова, если в ней в качестве x1, x2, ..., xn взяты переменные, в которых записаны уравнения (10.1) для этой системы.

46. Методы повышения точности сау.

1)Увеличение общего коэффициента системы.

Чрезмерное увеличение коэффициента усиления может привести к потере устойчивости системы.

2) Увеличение порядка астатизма системы.

Ввели звено W₃

W(p)=kk₁/p2(Tp+1); C(p)=p2(Tp+1)+kk₁

Tp3+p2+kk₁=0 – система не устойчива.

Однако увеличение порядка астатизма системы может привести к потере устойчивости.

В строго неустойчивых система устойчивость не может быть достигнута лишь изменением параметров элементов системы, а требует введения дополнительных звеньев

3) Введение изодромных звеньев.

W(p)=kk₁k₂(τp+1)/[p²(Tp+1)]

C(p)=Tp³+p²+kk₁k₂τp+ kk₁k₂

Введение изодромного звена позволяет уменьшить ошибку регулирования за счет увеличения порядка астатизма и одновременно обеспечить устойчивость системы.

4) Коррекция задающего воздействия(введение масштабируемых звеньев) позволяет придать системе астатические свойства или повысить порядок астатизма относительно задающего воздействия.

в этом случае ошибка равна нулю

–корректирующее устройство

Астатизм системы обеспечивается только при точном значении коэффициента передачи корректирующего звена расчетным.

5) Неединичная обратная связь так же позволяет обеспечить астатизм системы относительно задающего воздействия.

В системе без интегрирующих звеньев соответствующим выбором коэффициента основной и обратной связи может быть обеспечен астатизм относительно задающего воздействия.

Как и в предыдущем случае нестабильность коэффициентов К может служить причиной появления статической ошибки слежения.