42. Корневой метод оценки качества управления

Корневые методы для определения косвенной оценки показателя качества используют корни характеристического уравнения замкнутой системы и их расположения на комплексной плоскости.

Передаточная функция любой системы может быть представлена в следующем виде:

где _i – это нули передаточной функции; _i – полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения).

_i определяет устойчивость системы и качество переходных процессов, _i определяет только качество переходных процессов.

Диаграмма Вышнеградского

Влияние распределения корней на характер переходного процесса и на устой­чивость хорошо иллюстрирует диаграмма, построенная И.А. Вышнеградским для нормированного характеристиче­ского уравнения третьего порядка .

О

бласть устойчивости в плоскости параметров А₁ и А₂ состоит из трех областей, соответствующих различному распределению корней. Область I, ограниченная линией abc, соответствует трем действительным (и не равным друг другу) корням и апериодическому переходному процессу. Область II, ограниченная линией abd, соответствует паре комплексных корней и одному действительному корню, причем действительный корень ближе к мнимой оси, чем комплексные. Переходный процесс в этом случае монотонный. В области III, заключенной между границей устойчивости и линией abc, также пара комплексных корней и один действительный, но к мнимой оси ближе расположены комплексные корни. Переходный процесс колебательный.

На диаграмме показано также распределение корней для разграничительных линий. В точке b, в которой А₁=А₂=3, все три корня действительные и равные друг другу.

Частотные методы базируются на прямом и обратном преобразовании Фурье.

Если f(t) – функция периодическая, то для нее применимо:

Будем рассматривать:

Y(t)=h(t); x(t)=1(t)

, - вещественная характеристика.

______________________________________

Каждому полюсу _i на комплексной плоскости соответствует определенная точка. Данные корни определяют на плоскости следующую замкнутую плоскость.

В

корневых методах используют так называемые корневые показатели, определяемые по расположению корней

р₁, р₂, …, р_п характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости.

1. Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней

,

которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения . ₀ определяет центр расположения всех корней характеристического уравнения и влияет на быстродействие системы. Чем меньше показатель ₀, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса.

Пусть : Чем ближе к мнимой оси, тем ближе САУ к границе устойчивости. Поскольку - где - передаточный коэффициент разомкнутого контура для астатических систем, а - для статических систем. Чем выше коэффициент усиления k, тем лучше быстродействие системы.

2) Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости .

3) Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k–ая пара комплексных корней , для которой наибольшее отношение

или наибольший угол  между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р₂ и р₃.

Отношение _д мнимой части  к действительной части  доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.

В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности

,

также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения .

4) Абсолютное значение  действительной части корня, наиболее удаленного от мнимой оси.