23. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам — малая наглядность. Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму: 1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз; 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули. Тогда согласно критерию Гурвица: Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица. Пусть D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n, тогда:

- определитель Гурвица

Для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы ∆n и все его миноры были положительны при a₀>0.

24) Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова

Принципом аргумента :Если функция f мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области G с гладкой границей и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула: где N и P — количества соответственно нулей и полюсов функции f в G, учтённых каждый с его кратностью, а — изменение аргумента f(z) при обходе вдоль контура области G (ориентацияконтура стандартная). Он является частотным критерием и позволяет судить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по виду годографа характеристического вектора соответствующей системы.

Перейдем к частотной функции характеристического многочлена, заменив p на jw:

Критерий:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты в интервале от 0 до ∞, начинаясь в точке на вещественной положительной полуоси последовательно обходил против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не пересекая начало координат.

2-я формулировка:

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ изменение фазы частотной функции характеристического уравнения:

Свойства чередования корней.

Для устойчивости системы корни должны чередоваться.