Билет №5

Обычно, шифрами простой замены называют одноалфавитные, однозначные шифры замены. Наибольшее распространение получили поточные шифры простой замены, множества шифрвеличин и шифробозначений которых совпадают с алфавитом открытого текста 𝐴. Ключом такого шифра является произвольная подстановка 𝑘 на множестве 𝐴

𝑘 =( 𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛

𝑎𝑖 𝑎𝑗 . . . 𝑎𝑘),

верхняя строка которой представляет собой естественную последовательность

символов алфавита 𝐴, а нижняя — систематически перемешанную или случайную перестановку из 𝐴.

Криптоанализ шифра простой замены:

Любой метод вскрытия шифра простой замены основан на том обстоятельстве, что с точностью до переобозначений, частотные характеристики -грамм шифрованного и открытого текста одинаковы.

Алгоритм вскрытия шифра простой замены достаточно сложно формализовать, поэтому опишем лишь основные идеи, лежащие в основе такого алгоритма:

• Подсчёт частот встречаемости шифробозначений, а также некоторых

их сочетаний, например биграмм и триграмм.

• Выявление шифробозначений, заменяющих гласные и согласные буквы.

• Выдвижение гипотез о значениях шифробозначений и их проверка.

• Восстановление истинного значения шифробозначений.

Билет №6

Блочные шифры простой замены:

Как мы убедились, основная слабость шифра простой замены заключается в том, что избыточность открытого текста полностью проникает в шифрованный текст, и делает очень рельефной диаграмму встречаемости знаков криптограммы. Это побудило в своё время криптографов к устранению этой слабости за счёт увеличений числа шифрвеличин. Первым естественным шагом в этом направлении стало увеличение значности шифрвеличин, то есть использование блочных шифров простой замены.

В качестве примера рассмотрим шифр Хилла — блочный шифр простой

замены, где шифрвеличинами являются -граммы открытого текста(символы открытого текста удобно представить некоторыми числовыми кодами.)

Ключом шифра Хилла является некоторая обратимая матрица 𝑘 = (𝑘𝑖𝑗)

над Z/|𝐴|

(Z/𝑛 = {0, 1, 2, . . . , 𝑛 − 1})

Правило зашифрования и расшифрования выглядят следующим

образом:

𝑌𝑛*𝑚 = 𝐸𝑘(𝑥) = 𝑘𝑛*𝑛 * 𝑋𝑛*𝑚

𝑋𝑛*𝑚 = 𝐷𝑘(𝑥) = 𝑘−1𝑛*𝑛 * 𝑌𝑛*𝑚

(n,m-индексы)

Открытый текст записывается по столбцам матрицы 𝑋.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексныхчисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

В программировании М. - двумерный массив.

Билет №7-не нужен!!!

Билет №8

Крайне важным в криптографии являются понятия сравнения целых чисел по модулю.

Для начала, вспомним, что множеством целых чисел называется следующее числовой множество:

Z = {−N}⋃{0}⋃{N} = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} (В западных математических изданиях иногда 0 ∈ N, однако в русской математической традиции 0 не является натуральным числом.)

Разделить целое число 𝑎 с остатком на целое число

𝑏 означает найти такие целые числа 𝑟, 𝑞, что:

(1) 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟,

(2) 0 6 𝑟 < |𝑏|.

Числа 𝑞, 𝑟, удовлетворяющие указанным условиям, называются соответственно неполным частным и остатком от деления 𝑎 на 𝑏.

Теорема:

Если 𝑎, 𝑏 ∈ Z, 𝑏 ̸= 0, то 𝑎 можно разделить с остатком на 𝑏, причём неполное частное и остаток определяются однозначно.

Два целых числа 𝑎, 𝑏 называются сравнимыми по модулю 𝑚 ∈ Z, если они при делении на 𝑚 дают одинаковые остатки.

Записывают, обычно: 𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚).

Билет №9

Индексом совпадения для строки 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑚), 𝑥𝑖 ∈ 𝐴 длины 𝑚 над алфавитом 𝐴 называют вероятность того, что две случайно выбранные буквы из 𝑥 совпадают. Индекс совпадения обозначается 𝐼𝑐(𝑥).

Пусть 𝐴 = {𝑎1, . . . , 𝑎𝑛}. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема:

Индекс совпадения в 𝑥 вычисляется по формуле:

(3) 𝐼𝑐(𝑥) =Σ(𝑛−1𝑖=0)𝑓𝑖 (𝑓𝑖 − 1)/𝑚(𝑚 − 1),

где 𝑓𝑖 – число вхождений буквы 𝑎𝑖 в 𝑥, 𝑖 ∈ 1, 𝑛.

В частности для русского языка индекс совпадения приблизительно равен 𝐼𝑐(𝑥) ≈ 0, 0529.

Ошибка для индекса взаимного совпадения ≈0,03.

Билет №10

Пусть 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥𝑛) и 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦𝑚) – две строки над алфавитом 𝐴

Взаимным индексом совпадения в 𝑥 и 𝑦, обозначаемым 𝑀𝐼𝑐(𝑥, 𝑦), называется вероятность того, что случайно выбрана буква из 𝑥 совпадает со случайно выбранной буквой из 𝑦.

Пусть 𝑓𝑖 – число вхождений буквы 𝑎𝑖 в строку 𝑥, а 𝑔𝑖 – в строку 𝑦 соответственно. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема:

Взаимный индекс совпадения в 𝑥 и 𝑦 вычисляется по формуле:

(4) 𝑀𝐼𝑐(𝑥, 𝑦) =Σ(𝑛−1,𝑖=0)𝑓𝑖 · 𝑔𝑖/𝑛 · 𝑚

Пусть 𝑘 = (𝑘1, . . . , 𝑘𝜇) — истинное ключевое слово. Величину(𝑘𝑖 − 𝑘𝑗) mod 𝑛 будем называть относительным сдвигом 𝑌 ↓ 𝑖 и 𝑌 ↓ 𝑗 .

Можно показать, что 𝑌 ↓ 𝑖 и 𝑌 ↓ 𝑗 с относительными сдвигами 𝑛 и 𝑛−𝑠 имеют одинаковые взаимные индексы совпадения.

Заметим, что при некотором значении 𝑠(𝑖, 𝑗) ∈ 0, 𝑛 − 1 столбец 𝑌 𝑠(𝑖,𝑗)↓ 𝑗 ,полученный из 𝑌↓ 𝑗 прибавлением по модулю 𝑛 к каждому элементу числа

𝑠(𝑖, 𝑗) имеет нулевой относительный сдвиг с 𝑌 ↓ 𝑖 .

Для каждого из столбцов 𝑌 ↓ 1 , 𝑌 ↓ 2 , . . . , 𝑌 ↓ 𝜇 построим множество столбцов:

𝑌 0↓ 𝑖 , 𝑌 1↓ 𝑖 , . . . , 𝑌 (𝑛−1)↓ 𝑖 .

Таким образом, всего получим 𝜇!(/2! · (𝜇 − 2)!) · 𝑛 =(𝜇 · (𝜇 − 1) · 𝑛)/2