Ответы по курсу криптографии(сессия)

Билет №1

Криптография является областью знаний, связанной с решением таких проблем безопасности информации, как конфиденциальность, целостность, аутентификация и невозможность отказа сторон от авторства.

Достижение этих требований безопасности информационного взаимодействия и составляет основные цели(задачи) криптографии. Они определяются следующим образом.

Обеспечение конфиденциальности — решение проблемы защиты информации от ознакомления с её содержанием со стороны лиц, не имеющих права

доступа к ней.

Обеспечение целостности — гарантирование невозможности несанкционированного изменения информации. Для гарантии целостности необходим

простой и надёжный критерий обнаружения любых манипуляций с данными.

Манипуляции с данными включают вставку, удаление и замену.

Обеспечение аутентификации — разработка методов подтверждения подлинности сторон (идентификация) и самой информации в процессе информационного взаимодействия. Информация, передаваемая по каналу связи,

должна быть аутентифицирована по источнику, времени создания, содержанию данных, времени пересылки и т. д.

Обеспечение невозможности отказа от авторства — предотвращение

возможности отказа субъектов от некоторых из совершённых ими действий.

Билет №2

Множества. Под множеством мы понимаем соединение в некоторое целое 𝑀 определённых хорошо различимых предметов 𝑚 нашего созерцания или нашего мышления, которые будем называть элементами множества 𝑀(одинаковые элементы множества считаются за один)

Отображением 𝜙: 𝐴 → 𝐵 будем называть правило, по которому элементам множества 𝐴 ставятся в соответствие элементы множества 𝐵. При этом множество 𝐵 называется образом множества 𝐴, а множество 𝐴 — прообразом множества 𝐵.

Пусть 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑎 ∈ 𝐴, тогда если 𝜙(𝑎) = 𝑏, то элемент 𝑏 называется образом элемента 𝑎, а элемент 𝑎 — прообразом элемента 𝑏.

Следует иметь ввиду, что при отображении 𝜙: 𝐴 → 𝐵 различные элементы 𝑎1 ̸= 𝑎2 множества 𝐴 не обязаны иметь различные образы — они могут совпасть или же не существовать вовсе.

Отображения могут быть классифицированы следующим образом:

• Инъективное

Отображение 𝜙: 𝐴 → 𝐵 называется инъективным, если ∀𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐴: 𝜙(𝑎1) = 𝜙(𝑎2) ⇒ 𝑎1 = 𝑎2

• Сюръективное

Отображение 𝜙: 𝐴 → 𝐵 называется сюръективным, если 𝜙(𝐴) = 𝐵

• Биективное

Отображение 𝜙: 𝐴 → 𝐵 называется биективным или взаимно-однозначным,

если 𝜙 сюръективно и инъективно.

Билет №3

Отображение 𝜙−1 : 𝐵 → 𝐴 называется обратным к отображению 𝜙: 𝐴 → 𝐵, если

𝜙 · 𝜙−1 = 𝑒𝐴;

𝜙−1 · 𝜙 = 𝑒𝐵

Далеко не все отображения имеют обратные. Сформулируем и докажем критерий существования обратного отображения.

Роль в криптографии:

Для шифрования может использоваться только биективное отображение.(чтобы можно было расшифровать)

Теорема:

Для отображения 𝜙: 𝐴 → 𝐵, ∃𝜙−1, тогда и только тогда, когда 𝜙 — биективное.

Билет №4

Определим математическую модель произвольного шифра в общем виде. Пусть 𝑋,𝐾, 𝑌 множества всевозможных открытых текстов, ключей и шифрованных текстов соответственно.

Шифром (шифрсистемой) будем называть совокупность

Σ𝐴 = (𝑋,𝐾, 𝑌,𝐸,𝐷) введённых множеств, для которых выполняется следующее:

(1) ∀𝑥 ∈ 𝑋, ∀𝑘 ∈ 𝐾 верно равенство 𝐷𝑘 (𝐸𝑘 (𝑥)) = 𝑥;

(2) 𝑌 =⋃(𝑘∈𝐾) 𝐸𝑘 (𝑋).

Т. е. шифр — это совокупность множества возможных открытых текстов,

возможных ключей, возможных шифртекстов, правил зашифрования и правил расшифрования. Отметим, что условие (1) отвечает требованию однозначности расшифрования. Условие (2) означает, что ∀𝑦 ∈ 𝑌 : ∃𝑥 ∈ 𝑋, ∃𝑘 ∈ 𝐾такие, что 𝑦 может быть представлен в виде 𝑦 = 𝐸𝑘(𝑥).

Условие (1) можно также трактовать как требование инъективности отображения 𝐸𝑘. По данному определению отображение 𝐸𝑘 не обязано быть сюръективным, однако, в большинстве случаев является таковым, а значит и биективным, из чего по теореме(бил 3)следует существование обратного отображения. В роли обратного отображения, как не трудно догадаться, обычно выступает отображение 𝐷𝑘.

Классификация:

В качестве первичного признака, по которому происходит классификация шифров, используется тип преобразования, осуществляемого с открытым текстом. Если фрагменты открытого текста (отдельные буквы или группы букв) заменяются некоторыми их эквивалентами в шифртексте, то соответствующий шифр относится к классу шифров замены. Если буквы открытого текста лишь меняются местами друг с другом, то мы имеем дело с шифром перестановки. С целью повышения надежности шифрования шифрованный текст, полученный применением некоторого шифра, может быть ещё раз

зашифрован с помощью другого шифра. Все возможные такие композиции различных шифров приводят к третьему классу шифров, которые обычно называют композитными шифрами.