1.6. Относительный покой жидкости

Относительным покоем жидкости называется состояние, при котором она неподвижна относительно стенок заключающего ее и дви­жущегося с постоянным ускорением сосуда. При этом жидкость пере­мещается с сосудом как единое целое.

В случае относительного покоя на частицы жидкости массой dm действуют две массовые силы: сила тяжести d = gdm и сила инерции переносного движения ( — dm), где — ускорение переносного дви­жения.

При равномерном прямолинейном движении сосуда силы инерции переносного движения отсутствуют, и условия относительного равнове­сия совпадают с условиями равновесия жидкости в неподвижном сосуде.

1.6.1 Прямолинейное равноускоренное движение сосуда

При движении сосуда с постоянным ускорением в плоскости xoz под углом a к горизонту (рис. 1.4) вектор напряжения массовых сил одинаков для всех точек жидкости.

Рис. 1.4. Сосуд с жидкостью, движу­щийся вдоль наклонной плоскости вправо с постоянным ускорением а

Дифференциальное уравнение гидростатики Эйлера (1.28) в рас­сматриваемом случае принимает вид

dp = r (X dx + Y dy + Z dz) = — r acos a dx —r (g+asin a)dz.

(1.44)

Изобарические поверхности (поверхности уровня) — параллельные плоскости, наклоненные к горизонтали под углом j , для которого .

(1.45)

Распределение давления в жидкости:

p=p₀ + r a (x₀ – x) cos a + r (g + a sin a)(z₀ – z) (1.46)

где x₀ , z₀ — координаты произвольной фиксированной точки свободной поверхности, определяемые объемом жидкости, находящейся в сосуде; Р₀ — абсолютное давление на свободной поверхности.

Распределение давления по вертикали при х = const (h — глубина точки под свободной поверхностью) :

p = p₀ + r (g + a sin a)h. (1.47)

При вертикальном движении сосуда (если a = 90° , то ускорение направлено вверх, если a = 270° — вниз) j = 0, и свободная поверхность горизонтальна. Распределение давления по вертикали в этом случае:

p = p₀ + r (g ± a)h. (1.48)

При горизонтальном движении сосуда (a = 0) тангенс угла наклона свободной поверхности к горизонту равен

(1.49)

и распределение давления по вертикали имеет вид

p=p₀ + rgh , (1.50)

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

1.6.2. Равномерное вращение сосуда вокруг вертикальной оси

В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 1.5) вектор напряже­ния массовых сил

(1.51)

а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид

dp = r [w² ( xdx +ydy ) – gdz] = r (w ² rdr – gdz). (1.52)

Уравнение свободной поверхности (р = р₀ ):

(1.53)

Уравнение любой изобарической поверхности (р = const):

(1.54)

где z₀ - координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

Изобарические поверхности - параболоиды вращения, осью которых совпадает с осью оz , а вершины смещены вдоль этой оси. Форма изоба­рических поверхностей не зависит от плотности жидкости.

Высота параболоида свободной поверхности (R - радиус сосуда):

H = w ²R²/2g. (1.55)

Координата z₀ его вершины определяется объемом жидкости в сосу­де. Если начальный уровень в сосуде h₀ , то

z₀ = h - (1.56)

откуда h₁ = h₀ –z₀ = H/2.

Закон распределения давления в жидкости:

(1.57)

Рис. 1.5 Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоян­ной угловой скоростью w

Изменение давления по вертикали (h — глубина точки под свобод­ной поверхностью) :

Р = Р₀ + r gh,

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

Вопросы по теме 1.6.

1 . Какие силы действуют на жидкость при ее относительном покое?

2. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоян­ным ускорением?

3. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой ско­ростью и вертикальной осью вращения?

3. Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при ее относительном покое?