4. Типы деформаций

Установив общий план решения задач сопротивления материалов, мы можем теперь перейти к отдельным видам этих задач. Их можно разбить на несколько групп в зависимости от типа деформаций.

Основными типами деформаций являются (рис. 14):

1) растяжение или сжатие (а и б); примеры — работа цепей, канатов, тросов, растянутых и сжатых стержней в фермах, колонн;

2) перерезывание (в) — работа болтов, заклёпок;

3) кручение — работа валов (г);

4) изгиб — работа всякого рода балок (д).

Эти четыре типа деформаций называются простыми.

Для простоты мы будем сначала рассматривать лишь те элементы сооружений и машин, которые представляют собой так называемые призматические стержни с прямой осью. Таким стержнем мы будем называть тело, все поперечные сечения которого одинаковы; центры тяжести этих сечений лежат на одной прямой, называемой осью стержня. В дальнейшем мы рассмотрим стержни и с переменным сечением и с криволинейной осью.

Рис. 14

В конструкциях встречается и более сложная работа элементов, когда они испытывают два и более типов деформаций одновременно, например, растяжение или сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. д.; в этих случаях мы имеем дело с так называемой сложной деформацией. Для каждого из этих видов деформаций мы установим способы для вычисления напряжений, подбора материала и поперечных размеров элементов конструкции, а также способы для вычисления деформаций.

Лекция 8 напряжения и деформации при растяжении и сжатии в пределах упругости

1. Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным к оси стержня.

Решение основной задачи сопротивления материалов мы начнём с простейшего случая растяжения или сжатия призматического стержня.

Центральным растяжением или сжатием этого стержня называется деформация его под действием двух равных и прямопротивоположных сил, приложенных к концевым сечениям и направленных по оси стержня. Если эти силы направлены наружу от концевых сечений, то мы имеем растяжение (рис. 1, а), в противном случае — сжатие (рис. 1, б).

Рис. 1

По общему плану решения всякой задачи сопротивления материалов мы прежде всего должны найти величину этих внешних сил Р, растягивающих стержень. Величина сил Р обычно может быть определена из условий взаимодействия рассматриваемого стержня с остальными частями конструкции.

Рис. 2

В качестве простейшего примера можно рассмотреть винт вагонной стяжки (рис. 2). При равномерном движении поезда сила тяги паровоза Р, передающаяся через стяжку, уравновешивается с сопротивлением движению остальной части поезда. Сила тяги паровоза (она иногда достигает 250000н -25т) передаётся на винт стяжки при помощи винтовой нарезки так, что силы Р направлены по оси винта. Стержень винта подвергается растяжению. Нашей задачей будет подобрать поперечные размеры винта таким образом, чтобы прочность его была обеспечена.

Внешние силы, действующие на винт, равны силе тяги. Далее необходимо найти вызванные этими силами напряжения, установить для них допускаемую величину и выбрать так размеры поперечного сечения стержня, чтобы действительные напряжения не превосходили допускаемых.

Для вычисления напряжений необходимо выбрать те разрезы, которыми мы будем разделять стержень на две части. Для проверки прочности следует отыскать опасное сечение, т.е. то, через которое передаётся наибольшее напряжение. Мы установим формулы для вычисления напряжений сначала по сечениям, перпендикулярным к оси стержня, а в дальнейшем и по наклонным сечениям; таким путём мы сумеем отыскать наиболее опасное сечение.

Рис. 3 Рис. 4

Возьмём растянутый стержень и разделим его на две части поперечным сечением mn (рис. 3), перпендикулярным к оси. Отбросим вторую часть; тогда, чтобы равновесие первой не было нарушено, мы должны заменить действие отброшенной части силами, передающимися на оставшуюся часть через сечение (рис. 4). Заменяющие силы будут уравновешивать внешнюю силу Р, поэтому они должны сложиться в равнодействующую Рн (значок «Н» при Р (Р^н) означает, что эта величина является равнодействующей распределённых по сечению сил, выражаемых через напряжения), равную P, направленную по оси стержня в сторону, противоположную внешней силе (рис. 4). Эта равнодействующая Р^н будет усилием, действующим в стержне.

Таким образом, условия равновесия оставшейся части дают нам лишь величину равнодействующей внутренних сил, передающихся по сечению mn, её направление и точку приложения, но не могут указать, как распределяются напряжения по площади сечения, т. е. какие силы будут передаваться через различные квадратные единицы этой площади. Между тем, для оценки опасности, угрожающей прочности материала, необходимо найти наибольшее напряжение, отыскать ту квадратную единицу площади, через которую передаётся наибольшая сила.

Опыты с растяжением стержней из различных материалов показывают, что если растягивающие силы достаточно точно совпадают с осью стержня, то удлинения прямых линий, проведённых на поверхности стержня параллельно его оси, будут одинаковы. Отсюда возникает предположение о равномерном распределении напряжений по сечению. Лишь у концов стержня, там, где происходит непосредственная передача сил Р на стержень, растяжение распределяется неравномерно между отдельными участками площади сечения: те участки, к которым непосредственно приложена сила Р, перегружаются; но уже на небольшом расстоянии от концов работа материала выравнивается, и наступает равномерное распределение напряжений по сечению, перпендикулярному к оси. Эти напряжения направлены параллельно силе Р, т. е. нормально к сечению; поэтому их называют нормальными напряжениями и обозначают буквой σ. Так как они распределены равномерно по площади сечения, то P^н=P , отсюда получаем

. (1)

Эта формула позволяет нам вычислять напряжение σ, если растягивающая сила P и размеры сечения стержня. С другой стороны, если мы зададимся допустимой величиной нормального напряжения, из этой же формулы можно будет найти необходимую площадь поперечного сечения F.